Necesito ayuda para demostrar el determinante de una suma particular de matrices.

Question

Estoy aprendiendo a usar Mathematica y estaba jugando con él y me di cuenta de que la siguiente expresión es válida para un montón de números que introduje en él.

Me preguntaba si alguien podría ayudarme a probar o refutar esto.

$det(cJ_n+I)=cn+1$

Dónde $c\in \mathbb{R}$ es una constante

$J_n$ es el $n\times n$ matriz de unos

$I$ es el $n\times n$ matriz de identidad

Siento que puede haber algo simple aquí, aunque no estoy muy seguro de cómo abordar los determinantes de las sumas. Soy un estudiante de primer año, FWIW.

Se agradecen las sugerencias y la ayuda.

Answer 1

La forma más fácil de ver esto es cambiando la base y observando que esto deja el determinante sin cambios. Lo haré para $c=1$ puede hacerlo de forma análoga para otros $c$ . Por inspección, los valores propios son $n$ con multiplicidad $1$ y $0$ con multiplicidad $n-1$ con los correspondientes vectores propios $(1,1,...,1)$ y $(1,-1,0,...,0)$ , $(1,0,-1,0,...0)$ ,..., $(1,0,...,0,-1)$ respectivamente. Obsérvese que estos vectores propios forman una base para el espacio vectorial. La matriz identidad tiene el mismo aspecto en cualquier base, así que diagonalicemos $J_n$ para que tenga $n$ en la esquina superior izquierda, y es cero en el resto. Entonces $$J_n+I=\begin{bmatrix} n+1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & 0 & \ddots &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$$ por lo que el determinante es $n+1$ .

Answer 2

Esta afirmación es cierta.

Demostraremos esto usando expansión por menores, induciendo sobre $n$ .

Para $n = 1$ , $\det(c + 1) = c+1$ es trivial.

Ahora para $n+1$ Toma $\det ( c J_{n+1} + I )$ y utilizar la expansión por menores a través de la primera fila.

El primer número es $c+1$ mientras que el resto de los números son $c$ . Así que..:

$$\det(c J_{n+1} + I) = ( c+1 ) \det( c J_n + I ) + c \sum_{i=2}^{n+1} (-1)^{i+1} \det(A_{i-1})$$

$A_i$ es un $n \times n$ con su matriz $i$ -ésima fila compuesta en su totalidad por $c$ mientras que todas las demás filas se parecen:

$$\left( \begin{array}{ccccc} c & c & c+1 & \dots & c \end{array} \right)$$

Restando la primera fila de todas las demás, obtenemos una matriz parecida:

$$\left( \begin{array}{ccc} c & c+1 & c \\ c & c & c \\ c & c & c+1 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ c & c & c \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$$

Factor out $c$ y hacer $A$ en una matriz de permutación restando las filas formadas por un $1$ del $i$ -ésima fila (la suma y resta de filas no modifica el determinante). Nuestra matriz de permutación corresponderá a la permutación $( 123 \dots i)$ . Así que $\det(A_i) = (-1)^i c$ (se deduce por inducción y por el hecho de que al intercambiar dos filas se invierte el signo del determinante).

Así que nuestro determinante es

$$( c + 1 ) ( cn + 1 ) + c \sum_{i=2}^{n+1} (-1)^{i+1} (-1)^i c = c^2n + c( n+1 ) + 1 - c^2n = c(n+1) + 1$$

Answer 3

Es una pregunta excelente. Para mí, el mejor enfoque parece ser la inducción. Tomando el caso base como $n = 2$ esto es claramente cierto para un $2 \times 2$ matriz, como podemos ver:

$$\det\begin{bmatrix} c+1 & c\\ c & c+1 \end{bmatrix} = (c+1)^{2} - c^{2} = 2c +1$$

Sin embargo, podemos escribirlo de forma más sugerente. Obsérvese que la aplicación de operaciones elementales de fila a cualquier matriz no cambia su determinante. Por lo tanto, podemos ver, restando la fila inferior de la superior:

$$\det\begin{bmatrix} c+1 & c\\ c & c+1 \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} 1 & -1\\ c & c+1 \end{bmatrix} = (c+1)\cdot 1 - c\cdot(-1) = 2c +1$$

Supongamos ahora que esto es cierto para un $n \times n$ matriz. Queremos demostrar que es cierto para una $(n+1) \times (n+1)$ matriz. Escribiendo, el determinante de nuestra matriz se parece a

$$\det\begin{bmatrix} c+1 & c & \cdots & c\\ c & c+1 & \cdots & c \\ \vdots & c & \ddots &\vdots \\ c & c & \cdots & c+1 \end{bmatrix} = \det\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & \cdots & 0\\ c & c+1 & c & \cdots & c \\ 0 & -1 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & 0 & \ddots &\vdots \\ 0 & -1 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

¡Estamos tan cerca! Con un poco de trabajo y nuestra hipótesis de inducción, podemos demostrar que esto es de hecho $$(cn+1)\cdot 1 - c\cdot(-1) = c(n+1) +1$$

Para ello, tenemos que ver que:

$$\det\begin{bmatrix} c & c & c & \cdots & c \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix} = c$$

Pero esto no es difícil de demostrar con la expansión a lo largo de una elección de fila inteligente.