Definición. Sea $A$ sea un anillo conmutativo y $E$ un álgebra asociativa unital. Una izquierda $E$ -es un módulo de izquierda sobre el subyacente subyacente de $E$ .
Si $M$ es un $E$ -el homomorfismo $\eta:A\rightarrow E$ entonces define en $M$ un $A$ -se dice que subyace a la estructura de módulo $E$ -sobre $M$ para $\alpha\in A$ , $s\in E$ , $x\in M$ , $$\alpha(sx)=s(\alpha x)=(\alpha s)x,$$ de modo que para todos $s\in E$ , el homotecia $h_s:x\mapsto sx$ de $M$ es un endomorfismo de la subyacente $A$ -estructura del módulo. A la inversa, si se da un $E$ -módulo estructura en $M$ equivale a recibir un $A$ -estructura modular en $M$ y un $A$ -homomorfismo de álgebra $s\mapsto h_s$ de $E$ en $\text{End}_A(M)$ .
No estoy seguro de qué equivalencia se está afirmando aquí.
Sea $M$ ser un $E$ -módulo. Entonces, claramente $\alpha. x:=\eta(\alpha)x$ , $\alpha\in A$ y $x\in M$ define un $A$ -sobre $E$ . Además, escribir $h_s(x):=sx$ , $s\in E$ y $x\in M$ obtenemos un $A$ -homomorfismo de álgebra de $E$ en $\text{End}_A(M)$ . Así que esto demuestra que a partir del dato de un $E$ -sobre $M$ podemos extraer un $A$ -y una estructura $A$ -homomorfismo de álgebra.
¿Y en la otra dirección? Supongamos que nos dan un $A$ -módulo on $M$ y un $A$ -homomorfismo de álgebra $\phi:E\rightarrow\text{End}_A(M)$ . Evidentemente, $\phi$ es también un homomorfismo de anillo de $E$ en $\text{End}_{\mathbb{Z}}(M)$ y así tenemos un $E$ -sobre $M$ . Pero, ¿existe una relación entre el $A$ -que nos han dado y el módulo $A$ -definido por $\alpha.x:=\eta(\alpha)x$ ? ¿No deberían ser iguales?
