Isomorfismo con producto tensorial

Question

Sea $f$ : $\Bbb Z_2$ $\rightarrow$ $\Bbb Z_4$ dado como $f$ ( $a$ + $2$$ \Bbb Z $) = $ 2a $ + $ \Bbb Z_4 $ is a monomorphism . And knowing that <0,2> as subgroup of $ \Bbb Z_4 $ is isomorphic to $ \Bbb Z_2 $ how can I prove that the morphism $ f $ $ \otimes $ $ 1 $ : $ \Bbb Z_2 $$\otimes $ $\Bbb Z_2$ $\rightarrow$ $\Bbb Z_4 \otimes $ $\Bbb Z_2$ es el morfismo cero

Agradeceremos cualquier ayuda que nos permita esbozar una prueba o demostrar esta afirmación.

Answer 1

Si he entendido bien, tenemos (como $\;\Bbb Z$ - módulos = grupos abelianos) para cualquier tensor básico $\;a\otimes b\in \Bbb Z_2\otimes\Bbb Z_2\;$ :

$$f\otimes1(a\otimes b):=f(a)\otimes b:=(2a)\times b=2(a\otimes b)=a\otimes (2b)=\ldots$$