Fijar números enteros coprimos $p,q>0$ . El grupo discreto finito $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ funciona con $S^3\subseteq\mathbb{C}^2$ (considerada como una variedad riemanniana con la métrica inducida) a través de $(k+p\mathbb{Z}).(z_1,z_2)=(e^{2\pi ik/p}z_1,e^{2\pi ikq/p}z_2)$ . Se comprueba fácilmente que se trata de una acción libre y propia por isometrías, por lo que el cociente $L(p,q)=S^3/(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})$ posee una estructura natural suave y riemanniana, de modo que la proyección $\pi\colon S^3\rightarrow L(p,q)$ se convierte en un mapa de cobertura riemanniano. Mi pregunta es cuál es el diámetro $\mathrm{diam}(L(p,q))$ es.
Desde $\pi$ es un mapa de cobertura, cualquier curva suave a trozos en $L(p,q)$ se eleva a una curva suave a trozos en $S^3$ que además tiene la misma longitud ya que $\pi$ es una isometría local. De ello se deduce que $\mathrm{diam}(L(p,q))\le\mathrm{diam}(S^3)=\pi$ . Por otra parte, cualquier curva suave a trozos que conecte $\pi(1,0)$ y $\pi(0,1)$ se eleva a una curva suave a trozos que conecta $(1,0)$ y un punto de la forma $(0,e^{2\pi ik/p})$ para algunos $k\in\mathbb{Z}$ . Estos puntos son ortogonales, por lo tanto todos tienen distancia $\pi/2$ . De ello se deduce que $\mathrm{diam}(L(p,q))\ge\mathrm{dist}(\pi(1,0),\pi(0,1))\ge\pi/2$ . En total, tenemos los límites potencialmente crudos $\pi/2\le\mathrm{diam}(L(p,q))\le\pi$ .
En principio, $\mathrm{dist}([z],[w])=\mathrm{dist}(z,\{w,1.w,\dots,(p-1).w\})$ para $z,w\in S^3$ (el mismo argumento de elevación da $\ge$ y la desigualdad inversa se deduce de la completitud de $S^3$ ) y las geodésicas en $S^3$ son bien conocidos, por lo que no parece imposible calcular esto "a mano", pero las fórmulas parecen volverse tediosas rápidamente y espero que haya un enfoque más conceptual.
