Límite de la media de la expectativa del máximo de variables aleatorias

Question

Dado un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{ F}, \mathbb{P})$ , dejemos que $\{X_n : n \ge 1\}$ sea una secuencia de distribuidas R (no necesariamente independientes) con $E[|X_n|] < \infty$ . Intento demostrar que $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\mathbb{E}\left[\max_{1 \le j \le n}|X_j|\right] = 0.$$

Una relación gruesa como $\max_{1 \le j \le n}|X_j| \le \sum_{i=1}^n |X_i|$ no me da $\mathbb{E}\left[\max_{1 \le j \le n}|X_j|\right] = o(n)$ que necesito. Como pista puede que necesite utilizar la identidad $$\mathbb{E}[X] = \int_{0}^{\infty}\mathbb{P}(X\ge t)dt.$$

Answer 1

Fijar $R\gt 0$ y que $Y_{j,r}:=\left\lvert X_j\right\rvert\mathbf 1\left\{\left\lvert X_j\right\rvert\leqslant R\right\}$ y $Z_{j,r}:=\left\lvert X_j\right\rvert\mathbf 1\left\{\left\lvert X_j\right\rvert\gt R\right\}$ . Desde $\left\lvert X_j\right\rvert=Y_{j,R}+Z_{j,R}$ se deduce que $$\frac{1}{n}\mathbb{E}\left[\max_{1 \le j \le n}|X_j|\right]\leqslant \frac{1}{n}\mathbb{E}\left[\max_{1 \le j \le n}Y_{j,R}\right]+\frac{1}{n}\mathbb{E}\left[\max_{1 \le j \le n}Z_{j,R}\right].$$ Observe que $Y_{j,R}\leqslant R$ y que $$\frac{1}{n}\mathbb{E}\left[\max_{1 \le j \le n}Z_{j,R}\right]\leqslant \frac{1}{n}\mathbb{E}\left[\sum_{1 \le j \le n}Z_{j,R}\right]=\mathbb E\left[Z_{1,R}\right]$$ por lo que para cada $R$ , $$\limsup_{n\to +\infty} \frac{1}{n}\mathbb{E}\left[\max_{1 \le j \le n}|X_j|\right]\leqslant \mathbb E\left[Z_{1,R}\right].$$