Multiplicación escalar en productos tensoriales

Question

Estoy empezando a familiarizarme con los productos tensores (muy lentamente). Mi pregunta necesita la siguiente configuración:

Tenemos un $K$ -álgebra $A$ y $L\supset K$ campos. Construimos el producto: $A\otimes_KL$ .

Hace poco me dijeron que para $\sum x_i\otimes y_j\in A\otimes_KL$ y $\lambda\in L$ que tenemos: $$\lambda\sum x_i\otimes y_j\overset{\text{(simply)}}{=}\sum x_i\otimes(\lambda y_j).$$

Ahora no veo muy bien cómo debería ver esto. Por lo que yo sé, el producto tensorial se define para ser lineal sobre $K$ . Así que si hubiéramos tenido $\lambda\in K$ me convencería. Sin embargo, no veo por qué un $\lambda \in L$ de repente se le permite ser tratado como lo es aquí.

Answer 1

A priori, $A \otimes_K L$ no tiene un $L$ -estructura del módulo. Sin embargo, la ecuación que tienes arriba define un $L$ -en él. En otras palabras, se trata de una definición, no de una proposición.

Answer 2

Puede pensar en un $K$ -multilineal, o equivalentemente utilizar la definición de espacio vectorial libre. En este último caso $\lambda\sum x_i\otimes y_j-\sum x_i\otimes\lambda y_j$ está en el ideal para ser cociente.