Cuántos grupos diferentes de orden $15$ hay?

Question

Quería compartir con ustedes mi resolución de este ejercicio.

¿Cuántos grupos diferentes de orden $15$ hay?

Mi solución:

Estamos buscando grupos que $|G|=15=3\cdot 5$. Entonces: $G$ tiene una única Sylow $3$-subgrupo de orden $3$ ($P_3$) y un único Sylow $5$-subgrupo de orden $5$ ($P_5$).

Además, $$|P_3 \cap P_5|\ \Large\mid\ \normalsize|P_3|,\ |P_5|$$ Por lo $$|P_3 \cap P_5|=1\implies P_3 \cap P_5=\{e\}.$$

Entonces:$$|P_3\cdot P_5|=\displaystyle\frac{|P_3|\cdot |P_5|}{|P_3 \cap P_5|}=|P_3|\cdot |P_5|=3\cdot 5=|G|,$$

y $$G=P_3\cdot P_5 \simeq P_3 \times P_5 \simeq \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}.$$

Es todo correcto y bien justificado? Hay algunas cosas que no dije, por ejemplo, que un subgrupo de un primer $p$ mientras que la orden es cíclica, y por lo tanto isomoprhic a $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Tal vez hice algo mal. Agradecería a alguien para mirar y criticar mi ejercicio.

Gracias.

Answer 1

Se ve bien, aunque necesita argumentar que uno de $P_3$ o $P_5$ es normal en $G$ a conocer su producto es un grupo (ya ha demostrado, como únicos subgrupos de un orden dado son normales). Aquí es una manera diferente de hacerlo:

Como en su prueba, vamos a $P_3 \in \operatorname{Syl}_3(G)$$P_5 \in \operatorname{Syl}_5(G)$. Como dices, es fácil ver que estos son únicos (y por lo tanto normal). Ahora desde $P_3$ tiene fin $3$, $\operatorname{Aut}(P_3) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Desde $N_G(P_3)/C_G(P_3)=G/C_G(P_3) \leq \operatorname{Aut}(P_3)$, y el orden de $G/C_G(P_3)$ divide 15, debe ser el caso que $G/C_G(P_3)=1$. Por lo tanto, $C_G(P_3)=G$, lo $P_3 \leq Z(G)$. Ahora toma un poco de nonidentity $x \in P_3$$y \in P_5$, señalando que su pedido es de 3 y 5, respectivamente. Desde $x \in P_3 \leq Z(G)$, se deduce que el $x$ $y$ viaje, por lo que el orden de su producto$xy$$\operatorname{lcm}(\lvert x \lvert,\lvert y \lvert)=15$. Por lo tanto, $G=\langle xy \rangle$, lo $G$ es cíclico. De ello se desprende que cada grupo de la orden de 15 es cíclica, y por lo tanto isomorfo (en particular, son isomorfo al grupo aditivo $\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$).

El método anterior se puede generalizar para demostrar que cualquier grupo de orden $pq$ $p$ $q$ distintos de los números primos, $p<q$, e $p \nmid q-1$ es cíclico.