Mientras miraba https://www.youtube.com/watch?v=Y3u_hvxayDY que trata de la optimización submodular, encontré $F:2^\nu \rightarrow \mathbb{R}$ en torno al minuto 1:00 del vídeo.
¿Podría alguien aclarar qué significa?
Supongo que eso significa una función $F$ obtiene cualquier subconjunto de $\nu$ como entrada y da como salida un número real. ¿Estoy en lo cierto?
Se trata de una función que asigna subconjuntos de $\nu$ a números reales.
Entonces, ¿por qué se utiliza esta notación?
En teoría de conjuntos, si tenemos dos conjuntos $A$ y $B$ la notación $A^B$ (o ${}^BA$ por algunos autores) denota comúnmente el conjunto de todas las funciones de $B$ a $A$ es decir, cada función $f:B\to A$ es miembro de $A^B$ y nada más.
Otra cosa común en la teoría de conjuntos, es que el número natural $n$ es una abreviatura del conjunto $\{0,1,\dots,n-1\}$ . En particular, $2$ denota el conjunto $\{0,1\}$ .
Entonces, ¿qué es $2^\nu$ ?
Bueno, es el conjunto de funciones $f:\nu\to\{0,1\}$ . Cada una de estas funciones $f$ describe de forma única un subconjunto $X\subseteq\nu$ de la siguiente manera: si $a$ es un elemento de $\nu$ entonces decimos que $a\in X$ sólo si $f(a)=1$ .
A la inversa, cada subconjunto $X\subseteq\nu$ describe de forma única una función $f:\nu \to \{0,1\}$ donde dejamos que $f$ enviar un elemento $a\in \nu$ a $1$ sólo si $a\in X$ y envíelo a $0$ de lo contrario.
Dicha función $f$ se denomina función característica del subconjunto $X$ . Puede considerar $f$ y $X$ representan el mismo concepto de dos maneras diferentes.
Así, en conclusión, $F:2^\nu\to \Bbb R$ es un mapa del conjunto de funciones características (por tanto, esencialmente de subconjuntos de $\nu$ ) a números reales.
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