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Determinar el mayor factor primo de 3 cifras de ${2000 \choose 1000}$

Determinar el mayor factor primo de 3 cifras de ${2000 \choose 1000}$ .

No pude abordar el problema en absoluto. No tengo ni idea de cómo tratar el problema. Por favor, ayuda.

4voto

Calvin Lin Puntos 33086

Pista: Demuestre que si $p$ es un primo tal que $667 \leq p \leq 1000$ entonces $ p$ no es un factor de $ {2000 \choose 1000}$ . Utilice el hecho de que $667 \times 3 > 2000$ .

Pista: Prueba con el siguiente número primo más grande $p^*$ . ¿Funciona?

2voto

Hawk Puntos 3205

Para encontrar la solución, necesito encontrar un número que aparezca exactamente tres veces en $2000!$ pero exactamente una vez en $1000!$ como, $3-2=1$ . Obtenemos el $2$ como $1000!$ ocurre dos veces. Por lo tanto, tal número es el primo justo por debajo de $666$ que es $661$ .

1voto

GmonC Puntos 114

Teorema de Kummer dice que el número de factores $p$ (primo) en un coeficiente binomial $\binom{a+b}a$ es igual al número de cargas producidas al realizar la suma $a+b$ utilizando la base $~p$ representación de números enteros. Dado que la pregunta sólo considera factores primos $p<1000$ la representación de $1000$ en base $~p$ contiene al menos dos dígitos; además, si $p>500$ el primer dígito será $~1$ . Ahora la única manera $1000+1000$ puede producir un acarreo en base $~p$ para $500<p<1000$ es si los dígitos finales (iguales) lo hacen, y para ello su valor de dígito debe ser mayor que $p/2$ . Esto significa que $1000>p+p/2$ lo que da $p<\frac23\times1000<667$ . Además, para valores de $p$ cerca de ese límite superior se tendrá $1000\bmod p=1000-p>p/2$ por lo que basta con buscar el mayor número primo $p<667$ .

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