Determinar el mayor factor primo de 3 cifras de ${2000 \choose 1000}$ .
No pude abordar el problema en absoluto. No tengo ni idea de cómo tratar el problema. Por favor, ayuda.
Determinar el mayor factor primo de 3 cifras de ${2000 \choose 1000}$ .
No pude abordar el problema en absoluto. No tengo ni idea de cómo tratar el problema. Por favor, ayuda.
Teorema de Kummer dice que el número de factores $p$ (primo) en un coeficiente binomial $\binom{a+b}a$ es igual al número de cargas producidas al realizar la suma $a+b$ utilizando la base $~p$ representación de números enteros. Dado que la pregunta sólo considera factores primos $p<1000$ la representación de $1000$ en base $~p$ contiene al menos dos dígitos; además, si $p>500$ el primer dígito será $~1$ . Ahora la única manera $1000+1000$ puede producir un acarreo en base $~p$ para $500<p<1000$ es si los dígitos finales (iguales) lo hacen, y para ello su valor de dígito debe ser mayor que $p/2$ . Esto significa que $1000>p+p/2$ lo que da $p<\frac23\times1000<667$ . Además, para valores de $p$ cerca de ese límite superior se tendrá $1000\bmod p=1000-p>p/2$ por lo que basta con buscar el mayor número primo $p<667$ .
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