Ecuación del triángulo obtusángulo

Question

Da un triángulo obtusángulo y el ángulo obtuso es 105º. Hallar n tal que los ángulos agudos sean las raíces de la ecuación.

$$3\sec(x)+n\left(\frac{1}{\sec(x)}-\frac{1}{\csc(x)}\right)=3\left(\frac{1}{\sec(x)}+\frac{1}{\csc(x)}\right)$$

Answer 1

Si $A,B$ son los otros dos ángulos agudos, tenemos inmediatamente $A+B=(180-105)^\circ=75^\circ$

Al simplificar la expresión dada, $$\frac3{\cos x}=3(\cos x+\sin x)-n(\cos x-\sin x)$$ $$\implies \frac3{\cos x}=\sin x(3+n)+\cos x(3-n)\ \ \ \ (1)$$

$$\implies 3=(3+n)\sin x\cos x+(3-n)\cos^2x \ \ \ \ (2)$$

Multiplicando ambos lados por $\sec^2x=1+\tan^2x,$

$$\implies 3(1+\tan^2x)=(3+n)\tan x+(3-n) \ \ \ \ (3)$$

Podríamos ir directamente a $(3)$ de $(1)$ dividiendo ambos lados por $\cos x,$ pero los términos en $(2)$ están estrechamente relacionados con Fórmulas de doble ángulo que me recuerda inmediatamente a Medio ángulo tangente fórmula

Ahora, reorganiza $(3)$ para obtener una ecuación cuadrática en $\tan x$ cuyas dos raíces son $\tan A,\tan B$

Ahora usa Las fórmulas de Vieta encontrar $\displaystyle\tan A+\tan B$ y $\displaystyle\tan A\cdot\tan B$

y, a continuación, utilice Ángulo fórmula de adición de tangentes en $\displaystyle\tan75^\circ=\tan(A+B)=\cdots$