Sea $X,Y,Z$ sean tres variables aleatorias independientes, queremos averiguar si se cumple lo siguiente: $$P(X\geq Y,X\geq Z) = P(X\geq Y)P(X\geq Z)$$ es decir, si $X\geq Y$ y $X\geq Z$ son acontecimientos independientes. Primero intenté utilizar la ley de la probabilidad total para dividir el lado derecho, pero eso se complicó muy rápidamente y no creo que sea la mejor opción. También probé lo siguiente: $$P(X\geq Y, X\geq Z) = P(Y\leq X, Z\leq X) = P(Y-X\leq0,Z-X\leq0)$$ Ahora, sabemos que $Y,Z$ son independientes y, por tanto, para $k\in\mathbb{R}$ tenemos $$P(Y\leq k,Z\leq k) = P(Y\leq k)P(Z\leq k)$$ Pero aquí, $X$ no es un número real, sino una variable aleatoria, por lo que se reduce al hecho de si las variables aleatorias, $Y-X$ y $Z-X$ son independientes. Empecé a resolver esto estableciendo $\xi = -X$ tal que $f_{\xi}(c) = f_X(-c)$ según mis cálculos. Así que ahora sólo queremos saber si $$P(Y+\xi\leq k,Z+\xi\leq k) = P(Y+\xi\leq k)P(Z+\xi\leq k)$$ por definición de independencia. No estoy muy seguro de que esta sea la mejor manera de avanzar, sobre todo porque requerirá convoluciones en las funciones de densidad de la variable aleatoria. Si alguien ha visto algo parecido, por favor, que me lo diga, ¡gracias!
Respuesta
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Sea $X$ , $Y$ y $Z$ estar idénticamente distribuidos, tomando los valores $0$ y $1$ con probabilidad $1/2$ . El acontecimiento $\{X\geqslant Y\}\cap \{X\geqslant Z\}$ es $\{X=1\}\cup\left(\{X=0\}\cap\{Y=0\}\cap\{Z=0\}\right)$ y como la unión es disjunta, $$ \mathbb P\left(\{X\geqslant Y\}\cap \{X\geqslant Z\}\right)=\mathbb P\{X=0\}+ \mathbb P\left(\{X=0\}\cap\{Y=0\}\cap\{Z=0\}\right) $$ y por independiente de $(X,Y,Z)$ se deduce que $$ \mathbb P\left(\{X\geqslant Y\}\cap \{X\geqslant Z\}\right)=1/2+1/8=\frac 58. $$ El acontecimiento $\{X\geqslant Y\}$ puede reescribirse como $\{X=1\}\cup \left(\{X=0\}\cap\{Y=0\}\right)$ por lo tanto, por el mismo razonamiento que antes, su probabilidad es $1/2+1/4=3/4$ . Por fin, $$ \mathbb P\left(\{X\geqslant Y\}\cap \{X\geqslant Z\}\right)=\frac{10}{16}\neq\frac 9{16}= \mathbb P\left(\{X\geqslant Y\} \right)\mathbb P\left( \{X\geqslant Z\}\right). $$
