¿Está bien dotada la categoría de regímenes? ¿regularmente bien dotada?

Question

Bien alimentado significa que para cada esquema $X$ la red de subobjetos de monomorfismos $Y \to X$ es esencialmente pequeño; regularmente bien potenciado significa que para cada esquema $X$ la red de subobjetos regulares de monomorfismos regulares $Y \to X$ (ser un mono normal significa que $Y \to X$ es el igualador de algún par de mapas) es esencialmente pequeño. La bondad implica la bondad regular, pero no a la inversa.

Permítanme admitir tímidamente que formulo esta pregunta sin saber casi nada de geometría algebraica. Mi motivación viene de esta discusión sobre el modus operandi donde se aclaró que la categoría de regímenes es concretizable (es decir, admite un functor fiel a $\mathbf{Set}$ ) si y sólo si está regularmente bien dotado.

Esto es lo que sé: Esta pregunta del modus operandi cita SGA dando una caracterización de los monomorfismos localmente de tipo finito pero no monomorfismos arbitrarios. Esta pregunta del modus operandi indica que todo mono regular es una inmersión localmente cerrada. Así que me encantaría que alguien me dijera si un esquema puede tener un gran número de inmersiones localmente cerradas en él.

Answer 1

Si he entendido bien la pregunta, la categoría de los regímenes está regularmente bien dotada.

Un factor de inmersión localmente cerrado como $Y\xrightarrow{i}U\xrightarrow{j}X$ donde $j$ (resp. $i$ ) es una inmersión abierta (resp. cerrada). Ahora las inmersiones abiertas corresponden biyectivamente a subespacios abiertos del espacio subyacente de $X$ (ésta es claramente pequeña), mientras que las inmersiones cerradas en $U$ están indexados por ideales cuasicoherentes en $\mathcal{O}_U$ . Estos también forman un pequeño conjunto, de hecho un subconjunto de $\prod_V 2^{\Gamma(V,\mathcal{O}_U)}$ donde el producto abarca subconjuntos abiertos $V$ de $U$ .

Answer 2

Ahora me dicen que la categoría de esquemas afines es bienpoderosa (equivalentemente, la categoría de anillos conmutativos es bienpoderosa). Deduzco de ello que la categoría de los esquemas es bien poderosa. Sea pues $X$ sea un esquema. Para cada monomorfismo $f:Y\to X$ se puede encontrar una cobertura abierta afín $(V_i)_{i\in I}$ de $Y$ y una familia $(U_i)_{i\in I}$ de subesquemas abiertos afines de $X$ tal que $f(V_i)\subset U_i$ para todos $i$ . Es evidente que se puede acotar la cardinalidad de $I$ por la del espacio subyacente de $X$ . Cada mapa inducido $V_i\to U_i$ es un monomorfismo, así que por el resultado sobre esquemas afines el conjunto de datos posibles $(I,(V_i\to X))$ es esencialmente pequeño. Por lo tanto, basta con demostrar que la familia $(V_i\to X)$ determina $Y$ . De hecho:

Reclamación . $Y=\sup_{i\in I} V_i$ (como subobjeto de $X$ ).

Prueba. Claramente $V_i\leq Y$ para cada $i$ . Por el contrario, si $Z\to X$ es un subobjeto que contiene cada $V_i$ el (único) $X$ -morfismos $V_i\to Z$ deben estar de acuerdo en cada intersección $V_i\cap V_j$ ( $i,j\in I$ ) ya que $V_i\cap V_j\to X$ es un monomorfismo. Pero como $(V_i)$ es una cubierta abierta de $Y$ esto da lugar a un (único) $X$ -morfismo $Y\to Z$ . QED.