Interpretación geométrica a $|Z^2-9| +|Z^2|=41$

Question

Si un número complejo $Z$ satisface la ecuación $$|Z^2-9| +|Z^2|=41$$ demuestre entonces que el lugar geométrico de $Z$ es una elipse con centro en el origen en el plano complejo.

Mi enfoque:

Una forma de resolver la cuestión es establecer $\,z=x+iy,\,$ pero cuadrando $z$ y elevarlo al cuadrado dos veces más es muy largo.

Así que supongo que debe tener una intuición geométrica ordenada que no consigo descifrar. Por favor, sugiera un enfoque alternativo a esta pregunta.

Answer 1

Denote $$g(z)=|z^2-9| +|z^2|=41,\quad z \in \mathbb{C}.$$ Claramente, $g(-z)=g(z)=g(\bar z).$ Por lo tanto, el locus $\mathcal{L}(z)$ que buscamos es simétrico sobre el origen y también sobre los ejes real e imaginario.

En $41=16+25=25+16$ podemos adivinar soluciones $5,-5,4i,-4i.$
Su posición en el plano y la simetría de $\mathcal{L}(z)$ me hacen pensar en una elipse con centro en el origen, ejes $2a=10$ a lo largo del eje real y $2b=8$ a lo largo del eje imaginario.
Los focos de esta elipse están en $-3$ y $3,$ $(c^2=a^2-b^2,$ donde $c$ es la distancia entre el centro y un foco) y su ecuación en $\mathbb{C}$ es $$|z+3|+|z-3|=10.\tag{1}$$ Demostremos que $(1)$ es una ecuación de $\mathcal{L}(z).$

Cuadrando $(1)$ da una ecuación equivalente, porque todos los términos en $(1)$ no son negativos. Debido a Teorema de Apolonio obtenemos $$\underbrace{|z+3|^2+|z-3|^2}_{2(|z|^2+9)}+2\cdot\underbrace{|z+3|\cdot |z-3|}_{|(z+3)(z-3)|}=100,$$ o $$|z^2-9|+|z^2|=41.$$