Aplicación de la fórmula de integración de Cauchy a $\int_{\left|z\right|=4}{\frac{8\sin(z)}{(z-6)z^2}}dz$

Question

En una sección sobre la fórmula de integración de Cauchy en mi texto de análisis complejo, este problema es un ejercicio:

Evalúe $$\int_{\left|z\right|=4}{\frac{8\sin(z)}{(z-6)z^2}}\,dz$$

No consigo ver cómo puedo aplicar la fórmula a este problema. He intentado expandir la función racional $\frac{8}{(z-6)z^2}$ y aplicando fracciones parciales con poco resultado. No estoy muy versado en problemas de este tipo como para saber qué intentar a continuación. No consigo ver cómo puedo poner esta función en una forma en la que mi punto de evaluación para la fórmula de integración caiga dentro del límite $\left|z\right|=4$ .

Answer 1

Se puede escribir la integral como

$$\int_{|z| = 4} \frac{f(z)}{z^2} dz$$

donde $f$ es la función

$$f(z) = \frac{8 \sin z}{z - 6}$$

El punto clave es que $f$ es holomorfa sobre y dentro del círculo de radio $4$ ya que su único polo está en $z = 6$ . Por tanto, la fórmula de la integral de Cauchy implica que

$$\int_{|z| = 4} \frac{f(z)}{z^2} dz = 2 \pi i f'(0)$$