Covectors y Vectores

Question

Tengo una pregunta general acerca de vector/covectors:

De fondo. Un vector (para nuestros propósitos) es un objeto físico en cada base de $\mathbb{R}^3$ representado por tres números tales que estas cifras obedecen a ciertas reglas de transformación cuando se cambia la base. Deje $\textbf{x}$ ser un vector arbitrario y $\textbf{e}_1, \textbf{e}_2, \textbf{e}_3$ $\tilde{\textbf{e}}_1, \tilde{\textbf{e}}_2, \tilde{\textbf{e}}_3$ dos bases. Estos transformación inversa reglas de transformación son los siguientes:

$$\tilde{x}^{j} = \sum_{j=1}^{3} T_{i}^{j} x^i$$ and $$x^{j} = \sum_{i=1}^{3} S_{i}^{j} \tilde{x}^i$$

Pregunta. Vectores de satisfacer las propiedades antes mencionadas. Ahora si que me imagino que algún otro conjunto de objetos que satisfacen las propiedades anteriores ¿por qué los llamamos covectors? ¿Cuáles son covectors y la forma en que son diferentes de vectores si cumplen las mismas propiedades?

Answer 1

Dado un espacio vectorial $V$, hay un "doble" espacio de $V^*$, que se compone de funciones lineales $V\to \mathbb{F}$ (donde $\mathbb{F}$ es el campo subyacente). Dado $v\in V, \phi \in V^*$, se puede conectar a obtener un número de $\phi(v)$.

Debido a la linealidad, $V^*$ es en realidad un espacio vectorial. Si $V$ es finito dimensionales, a continuación, $V^*$ tiene la misma dimensión. Una forma de ver esto es, si fijamos una base $e_1, \ldots e_n \in V$, tenemos una base $\phi_i, \ldots, \phi_n \in V^*$ definido por $\phi_i(v_j)=\delta_{ij}$, $1$ al $i=j$ $0$ lo contrario.

Por supuesto, este isomorfismo requiere la elección de una base, y, en general, no es "natural" elección de isomorfismo. Además, cuando se $V$ es de infinitas dimensiones, $V$ $V^*$ no va a ser isomorfos.

Así que si sólo estamos haciendo básicas de álgebra lineal, no hay ninguna diferencia real entre los vectores y covectors. Hay algunas construcciones que parecen requerir una opción de base, si usted no utiliza covectors (como la toma de la transpuesta de una matriz), pero no son fundamentalmente diferentes tipos de objetos. Sin embargo, si queremos trabajar geométricamente, podemos ver una diferencia.

Dado un colector $M$, y un punto de $p\in M$, tenemos un espacio vectorial $T_pM$ de los vectores tangente a$M$$p$. Por ejemplo, si usted toma la esfera hueca que se encuentra dentro de $R^3$, se puede ver en el plano que se encuentra tangente a un punto, y convertirlo en un espacio vectorial. Estos vectores tangente actuar en funciones al tomar la derivada direccional de una función en un punto. Si usted toma una tangente covector, que ya no actúa en funciones, no sólo actúa sobre los vectores. Geométricamente hablando, es fundamentalmente diferente tipo de objeto. Tomando un vector tangente en cada punto, se puede conseguir algo que se llama vector de campo, pero teniendo un covector en cada punto de obtener algo que se llama diferencial de la forma. Ambos son útiles nociones, sino que se utilizan en formas fundamentalmente diferentes.

Por supuesto, una vez que usted consigue la idea general de un vector paquete (esencialmente, una forma de suavidad poner un espacio vectorial en cada punto de un colector), se puede ver que tangentes y vectores de la tangente covectors son sólo el vector dual paquetes, y en la ausencia de ciertas construcciones geométricas pueden ser tratados de manera muy similar.

Answer 2

Una vez me dijeron que la razón por la que algunos de la terminología habitual en la teoría de representaciones de álgebras de Lie es ligeramente doloroso para su uso es debido a que originalmente fue desarrollado por los físicos que no podría decir la diferencia entre un espacio vectorial y su doble.

Reconozco ser totalmente ignorante de cómo los físicos pensar en estas cosas (y vectores de co-vectores; no álgebras de Lie), en la práctica, pero mi limitada (y tal vez matemáticamente parcial) experiencia sugiere que hay muy buenas razones por las que la diferencia entre los vectores y co-vectores es sutil y no es fácil de ver en concreto contextos físicos.

En primer lugar, el físico de la definición de un vector como la secuencia de los números de la satisfacción de ciertas reglas de transformación a mí me parece que decir que un objeto físico que es representado por un vector, si en cada base (dispositivos de medición de algún tipo, relacionados a través de ciertas matrices), la asociada a la secuencia de números que vienen de la medición de los objetos utilizando los dispositivos están relacionados por la multiplicación de la matriz/ecuaciones lineales (así es como yo interpreto Damien definición).

Desde esta perspectiva, es natural para los físicos, ya que el estudio empírico de los fenómenos y de los que tienen que decidir sobre la forma de modelo de sus datos, lo cual depende de las relaciones entre los datos que observan. Vale la pena señalar, sin embargo, que un físico nunca ve un abstracto vector - tu ver sólo la representación numérica de que el vector respecto a una base específica (dispositivo de medición), lo que significa que el vector de espacios físicos tratar en este contexto tiene un a priori elegido base (sin una base que no tiene sentido hablar de $\mathbb R^n$ y vectores correspondientes a $n$-tuplas de números).

En detalle, lo que pasa es esto. Supongamos que tenemos un dispositivo de medición, el cual toma en vectores y escupe tres números, por lo que un dispositivo de medición consta de tres funciones $\mathbf e_1^*, \mathbf e_2^*, \mathbf e_3^*$ que tomar vectores $v$ en forma lineal a los números en el campo subyacente $\mathbb R$ (el campo no tiene que estar compuesto de números reales; es más intuitiva que la geometría de esta manera). En otras palabras, las funciones de $\mathbf e_1^*,\mathbf e_2^*,\mathbf e_3^*$ son funcionales lineales $\mathbb V\to\mathbb R$ desde nuestro espacio vectorial de los números reales, y podemos poner sus resultados en un vector $\mathbb v$ juntos en un triple de números de $(x,y,z)\in\mathbb R^n$ donde $e_1^*(v)=x$, $e_2^*(v)=y$, $e_3^*(v)=z$,

Entonces, estas tres funciones lineales yo reclamo determinar una única base para el espacio vectorial $V$. Esta base, que vamos a llamar a $\mathbb e_1,\mathbb e_2,\mathbb e_3$ se compone de los únicos vectores tales que el $\mathbf e_i^*(\mathbf e_j)=\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}$, es decir, la base de vectores $\mathbb e_1,\mathbb e_2,\mathbb e_3$, son los únicos tres vectores que corresponde a tres triples $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, y $(0,0,1)$ respectivamente; son precisamente los objetos que cuando se mide dar exactamente con los valores.

Ahora, si los vectores son los objetos cuyas coordenadas se miden por los dispositivos de medición, a continuación, co-vectores son precisamente las funciones que componen los dispositivos de medición. En otras palabras, las tres funciones de $\mathbb e_1^*,\mathbb e_2^*,\mathbb e_3^*$ son ejemplos de co-vectores, y viven en el espacio dual $V^*$ de funciones lineales $V\to\mathbb R$.

Por supuesto, tal y como pensamos de vectores como ternas de números que satisfacen ciertas propiedades en relación a las bases, por lo que podemos pensar de co-vectores como ternas de números que satisfacen ciertas propiedades en relación a las bases. Sin embargo, es un poco contra-intuitivo para preguntar qué co-vectores son medidos (que se mide por los triples de los objetos), por lo que en lugar, vamos a pensar en cómo piensan realmente se ven como en coordenadas relativas a algún fundamento.

Sabemos que un $n\times k$ matriz con entradas real representa una transformación lineal de $\mathbb R^n\to\mathbb R^k$. Ahora, podemos pensar de vectores como transformaciones lineales $\mathbb R\to V$ dado una transformación $v$, tenemos un vector canónico $v(1)$. Entonces, esto es exactamente donde la columna de la matriz $\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]$ viene, y por qué representa un vector.

Así, mientras que los vectores en $\mathbb R^3$ puede ser pensado como una función de $v\colon \mathbb R\to\mathbb R^3$, co-vectores pueden considerarse como funciones de $f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R$. Pero esos serán representados por fila matrices $\left[\begin{matrix}a&b&c\end{matrix}\right]$.

Pregunta: dado nuestro estándar $\mathbb e_1,\mathbb e_2, \mathbb e_3$, ¿qué hacen las funciones de medición $\mathbb e_1^*,\mathbb e_2^*,\mathbb e_3^*$? Así, la aplicación de una función de $f$ a un vector $v$ es lo mismo que calcular el compuesto lineal mapa de $\mathbb R\overset{v}\to\mathbb R^3\overset{f}\to\mathbb R$, y la composición lineal de los mapas se hace precisamente a través de la multiplicación de la matriz.

Esto, si en relación con un estándar de base tenemos la co-vector $f=\left[\begin{matrix}a&b&c\end{matrix}\right]$, y el vector $v=\left[\begin{matrix}x\\y\\z\end{matrix}\right]$, entonces la medición de $v$ $f$ da el número de $f(v)=ax+by+cz$.

Así, en particular, tenemos que $f(\mathbb e_1)=a$, $f(\mathbb e_2)=b$, y $f(\mathbb e_3)=c$ donde $\mathbb e_1,\mathbb e_2,\mathbb e_3$ es el estándar de la base dada por $\mathbb e_1=\left[\begin{matrix}1\\0\\0\end{matrix}\right]$, $\mathbb e_2=\left[\begin{matrix}0\\1\\0\end{matrix}\right]$, y $\mathbb e_3=\left[\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right]$. Esto implica que en relación a la misma base que hemos $\mathbb e_1^*=\left[\begin{matrix}1&0&0\end{matrix}\right]$, $\mathbb e_2^*=\left[\begin{matrix}0&1&0\end{matrix}\right]$ y $e_3^*=\left[\begin{matrix}0&0&1\end{matrix}\right]$.

Evidentemente, esto muestra que las funciones de medición $\mathbb e_1^*$,$\mathbb e_2^*$,$\mathbb e_3^*$ forma una base para el espacio dual $V^*$. Recordar de dónde $\mathbb e_1^*$, $\mathbb e_2^*$, y $\mathbb e_3^*$ provenían, vemos que la elección de un dispositivo de medición es en realidad una base para el espacio de co-vectores. Además, podemos ver que la elección de una base de co-vectores también determina de forma única una base dual de los vectores, y, por tanto, un isomorfismo entre los vectores y co-vectores.

Esto nos permite escribir lo que la propiedad co-vectores de satisfacer. Evidentemente, estos cumplen la misma propiedad como vectores si se cambia entre las bases de co-vectores. Los diferentes bienes que satisfacen proviene de la elección de diferentes bases de vectores. Específicamente, deje $f$ ser un co-vector, y vamos a $\mathbb e_1$,$\mathbb e_2$,$\mathbb e_3$ y $\tilde{\mathbb e}_1$, $\tilde{\mathbb e}_2$, $\tilde{\mathbb e}_3$ ser otra base. Entonces:

$$\tilde{v}_{j} = \sum_{j=1}^{3} {T^t}_{i}^{j} v_i$$

y

$$v_{j} = \sum_{j=1}^{3} {S^t}_{i}^{j}\tilde{v}^i$$

donde $M^t$ es la transpuesta de a $M$, lo que en realidad ${M^t}_i^j=M_j^i$.

Answer 3

El (física) la distinción entre los vectores y covectors está relacionado con el marco de referencia de los cambios.
Desde que le pidieron $3$-vectores, me voy a referir sólo a marco espacial de referencia de los cambios, pero una regla similar se sostiene para los 4-vectores del espacio y del marco de tiempo de los cambios de referencia.

Vamos $O$, $O'$ dos marcos espaciales de referencia, $(x_1, x_2, x_3)$ están las coordenadas de un evento en $O$, $(x'_1, x'_2, x'_3)$ las coordenadas de un mismo evento en $O'$; están relacionadas por $$x'_i = \sum_{j=1}^{3} T_{ij} x_j + k_i$$

Deje $A$ ser un observable completamente definido por $3$ números, $(A_1, A_2, A_3)$ son los valores de los números en $O$, $(A'_1, A'_2, A'_3)$ los valores de $O'$.
Iff la siguiente igualdad tiene $$Un'_i = \sum_{j=1}^{3} T_{ij} A_j$$ $A$ se dice que es un vector. De lo contrario, si el siguiente que uno tiene $$Un'_i = \sum_{j=1}^{3} (T^{-1})_{ji} A_j$$ $A$ se dice que es un covector.

En otras palabras, los vectores de transformación con la misma matriz, $T$ coordenadas del espacio y covectors con la matriz $(T^{-1})^{tr}$.

Generalmente, se utilizan sistemas de coordenadas ortogonales con la longitud de la misma unidad de medida, por lo $T$ es sólo un $O(3)$ matriz. Bajo esa condición, tenemos $$T = (T^{-1})^{tr}$$ y covectors son idénticos en ambos casos a partir de los vectores. Este hecho explica por qué rara vez nos hablan de covectors en la mecánica clásica.
La situación cambia radicalmente con el espacio-tiempo de los marcos de referencia en la relatividad especial.
En ese caso, $T$ $O(1, 3)$ matriz, $T$ es (en general) diferente de $(T^{-1})^{tr}$ y, vectores y covectors son muy distintas.

Como observación final, tenga en cuenta que hay "vector" (clásica) de las cantidades físicas, que no son ni vectores ni covectors.

El momento angular de un punto de masa se define por $$\mathbf l = m \mathbf r\times \mathbf v$$ donde $m$, $\mathbf r$ y $\mathbf v$ son, respectivamente, la masa, la posición y velocidad del cuerpo.
Si $(l_1, l_2, l_3)$ son los componentes de $\mathbf l$ en $O$, $(l'_1, l'_2, l'_3)$ los componentes en $O'$ $T$ es una rotación (que es $T\in SO(3)$) es fácil comprobar que $$l'_i = \sum_{j=1}^3 T_{ij} l_j$$ Por lo $\mathbf l$ se comporta como un vector con respecto a las rotaciones. Pero si la transformación de $O$ $O'$es $$x'_i = -x_i$$ entonces tenemos $$l'_i = l_i$$ Aunque a menudo se $\mathbf l$ se conoce como un vector, no es ni un vector ni un covector. Es más apropiado llamarlo pseudovector.

Answer 4

Este es mi entendimiento: Si $x$ es un vector columna de $\mathbf R^n$, luego de su correspondiente covector no es nada más que $x^T$, es decir, la transpuesta de a $x$, que es un vector fila. Ahora $x^T$ es tal que para cualquier vector columna $y \in \mathbf R^n$, $x^Ty$ es un número real. Además, tenemos que $x^T(\alpha y + z) = \alpha x^Ty + x^Tz$ para cualquier escalar $\alpha$ y vectores $y,z$. Por lo tanto, $x^T$ es en realidad un funcional lineal. Conclusión: covectors son sólo funcionales lineales.

Answer 5

En tu ejemplo, $x^j$ $\tilde{x}^j$ son ambos vectores.

Por otro lado, un covector es lineal en el mapa de un espacio vectorial para el campo base. En este ejemplo, un covector $\psi$ sería lineal mapa del espacio vectorial $\mathbb R^3$ a a campo base $\mathbb R$.

Ejemplos de covectors en este contexto:

1) Un mapa que toma el vector $(a_1,a_2,a_3)$$a_1$, es decir, el mapa de proyección hacia el 1 de coordenadas.

2) Un mapa que toma el vector $(a_1,a_2,a_3)$$1a_1+2a_2-4a_3$.