La parte real de $zf''(z)/f'(z)$

Question

¿Cómo puedo demostrar que $$\Re\ z\frac{f''(z)}{f'(z)}=r\frac{\partial}{\partial r}\ln |f'(z)|, z\in D.$$ Toma, $f$ es holomorfa en $D$ y $r=|z|$ .

Answer 1

$\dfrac{\partial}{\partial r}$ es un operador real (lo que significa que conmuta con la conjugación, tomando la parte real, etc.).

$\log \lvert f'(z)\rvert$ es la parte real de $\log f'(z)$ [localmente, no existe necesariamente una rama global de $\log f'(z)$ ]. Entonces la regla de la cadena da

$$\begin{align} r\frac{\partial}{\partial r} \log f'(z) &= r \left(\frac{\partial \log f'(z)}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial r}\right)\tag{1}\\ &= r\left(\frac{f''(z)}{f'(z)}\cdot \frac{z}{r}\right)\\ &= z\frac{f''(z)}{f'(z)}. \end{align}$$

No parece haber $\dfrac{\partial}{\partial\overline{z}}$ en $(1)$ ya que la función es holomorfa.

Tome la parte real para concluir.

Answer 2

Utilizando la regla de la cadena y $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ ?

$f=u+iv$ , $f'=...$ , ${\partial\over\partial r}\ln|f'(r\cos\theta+ir\sin\theta)|=...$