Extensión de la bola unitaria cerrada en un conjunto abierto

Question

En un espacio normado (sobre los reales), sea $C_1 = \{x : \|x\| \leq 1\}$ la bola unitaria cerrada, y sea $U$ sea un conjunto abierto que incluya $C_1$ .

En $\mathbf{R}^p$ es intuitivamente evidente que se puede "extender" la bola unitaria cerrada de modo que $C_{1+\epsilon} = \{x : \|x\| \leq 1 + \epsilon \} \subset U$ . Me las arreglé para probar esto para todos finito -de los espacios tridimensionales.

He aquí la prueba: Sabemos $C = \{x : \|x\| = 1 \}$ es compacto. Para cada punto $x \in C$ tomemos dos bolas abiertas de radio $r_x$ y $r_x/2$ en $U$ que contiene $x$ . Por compacidad podemos tener una colección finita de bolas abiertas de radio $r_{x_n}/2$ cubierta $C$ e incluido en $U$ . Tome el mínimo de $r_{x_n}$ como $r$ .

Para cualquier $x$ con $1 \leq \|x\| \leq 1 + r/2$ tenemos $x/\|x\| \in C$ y, por tanto $x/\|x\|$ está en algún $V_n$ . El cálculo nos da $\|x - x/\|x\|\| = \|x\|(1 - 1/\|x\|) < r/2$ y, por tanto $\|x - x_n\| \leq \|x - x/\|x\|\| + \|x/\|x\| - x_n\| < r/2 + r/2 = r$ y, por tanto $x \in U$ .

La demostración anterior hacía un uso esencial de la compacidad de la frontera de la bola unitaria cerrada, que sé que es falsa en espacios de dimensión infinita. Me gustaría saber si un resultado similar es válido en espacios normados de dimensión infinita, o si existe un contraejemplo (que creo que es el caso, pero he sido incapaz de encontrar uno).

Answer 1

Consideremos el espacio vectorial $E=(\mathcal{C}^0_{\rightarrow 0}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), ||.||_{\infty})$ de funciones continuas de valor real sobre $\mathbb{R}$ que tiende a $0$ en $\pm \infty$ dotado de la sup-norma.

Entonces la bola unitaria cerrada es $B=\lbrace f \in \mathcal{C}^0_{\rightarrow 0}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid \forall x \in \mathbb{R}, |f(x)| \leq 1 \rbrace$ .

Toma $U = \lbrace f \in \mathcal{C}^0_{\rightarrow 0}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \mid f(x) < 1 + e^x \rbrace$ . Entonces $U$ contiene claramente $B$ . Además, $U$ está abierto : de hecho, si se toma $f \in U$ entonces la función $g: x \mapsto 1+e^x-f(x)$ es positiva en todas partes y tiende a $1$ en $-\infty$ y a $+\infty$ en $+\infty$ por lo que, por continuidad, existe $M>0$ tal que $g(x) \geq M$ para cada $x$ . Entonces el balón abierto en $E$ centrado en $f$ con radio $M/2$ se encuentra en $U$ .

Pero $U$ no contiene ninguna bola cerrada centrada en $0$ con radio $>1$ . En efecto $\varepsilon >0$ . Sea $x_0 \in \mathbb{R}$ tal que $1+e^{x_0} < 1 + \varepsilon$ . Entonces puedes construir fácilmente una función $f \in \mathcal{C}^0_{\rightarrow 0}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) $ tal que $f(x_0)=\max_{x \in \mathbb{R}} |f(x)|=1+\varepsilon$ . Dicha función pertenece a la bola centrada en $0$ con radio $1+ \varepsilon$ pero no pertenece a $U$ .