Por qué $\sum_{n=2}^{\infty}(n-1)x^{n+1}$ = $x^3 \sum_{n=2}^{\infty}(n-1)x^{n-2}$ ?

Question

Cuando tenemos una secuencia como $\sum_{n=2}^{\infty}(n-1)x^{n+1}$ ¿por qué es cierto que podemos escribirlo como $x^3 \sum_{n=2}^{\infty}(n-1)x^{n-2}$ ¿por ejemplo? ¿Sólo es cierto para $x$ s.t $\sum_{n=2}^{\infty}(n-1)x^{n+1}$ converge? Así que podemos decir que esta identidad sólo es cierta en $(-1, 1)$ ? Es sólo una idea básica con la que intento entenderme...

Answer 1

La suma $$\sum_{n=2}^{\infty} (n-1)x^{n+1}=\sum_{n=2}^{\infty} (n-1)x^{n-2}\cdot x^3\overset{\text{as $ x $ is independent of $ n $}}{=}x^3\times\sum_{n=2}^{\infty} (n-1)x^{n-2}$$ Es como tomar $x^3$ común de todos los términos. Esto es válido para todos $x$ pero, por supuesto, cuando $x>1$ no tiene sentido aplicar esta identidad ya que ambas partes serán $+\infty$ .