Convergencia uniforme de una familia de funciones sobre $(0,1)$

Question

Sea la familia de funciones

$$f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx}.$$

¿Es la secuencia $f_n$ uniformemente convergente en el intervalo $(0,1)$ ?

Answer 1

$\frac{x}{1 + nx} = \frac{1}{\frac{1}{x} + n} \leq \frac{1}{n}$ que no depende de $x$ por lo que su secuencia converge uniformemente a $0$

Answer 2

Al principio tenemos que $f_n\to 0$ . Ahora $\|f_n\|_{\infty}=sup|f_n|=supf_n=1/(1+n)\to 0$ y por tanto es uniformemente convergente en $(0,1)$ .

$f'_n(x)=\frac {1}{(1+nx)^2}$ y así $f_n$ son estrictamente crecientes y, por tanto $supf_n(x)=f_n(1)$