¿Por qué falla el concepto de masa efectiva para las relaciones de dispersión lineales?

Question

Tuve una discusión sobre el grafeno y me tropecé con un problema conceptual mío sobre la masa efectiva de los electrones cerca del punto de Dirac en el grafeno o para cualquier relación de dispersión lineal en general. Mi problema es que al calcular la masa efectiva por:

$$ \begin{align} \frac{1}{m_e^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2\epsilon(k)}{\partial k^2} \end{align} $$ Y utilizando $E(k) = \alpha k$ , dispersión lineal, el resultado debe ser $m_e^* = \infty $ .

Esto se contradice con mi conocimiento de que la masa efectiva del electrón debería ser muy pequeña alrededor del punto de Dirac. ¿Cómo encaja todo esto?

Además, en algún artículo se afirmaba que sólo se debería utilizar la fórmula dada para las relaciones de dispersión parabólicas. ¿Por qué? No pude encontrar ninguna parte en la derivación que limitara esta fórmula únicamente a las relaciones de dispersión parabólicas.

Agradecería algunas explicaciones y aclaraciones.

Answer 1

El problema real es que la relación de dispersión sigue sin ser lineal: es

$$\varepsilon(\vec k)=\alpha|\vec k|,$$

que en el caso unidimensional es

$$\varepsilon(k)=\alpha|k|=\alpha k(\theta(k)-\theta(-k)),$$

donde $\theta$ es el Función escalón de Heaviside .

Entonces la derivada de la energía con respecto al número de onda será

$$\varepsilon''(k)=2\alpha\delta(k),$$

donde $\delta$ es el delta de Dirac . A grandes rasgos, es infinito en $k=0$ por lo que su recíproco sería entonces cero.

Esto se hace más evidente si se rompe alguna simetría del cristal de forma que aparezca un pequeño hueco en la estructura de bandas, en cuyo caso la masa efectiva se hace distinta de cero pero sigue siendo bastante pequeña. O simplemente observe la masa efectiva que se obtiene para una secuencia de $\varepsilon_n(k)=\alpha \sqrt{k^2+1/n^2}$ como $n\to\infty$ .

Answer 2

Actualización: La solución reside en la definición de la masa efectiva. Se deriva semiclásicamente con la 2ª ley de Newton $F = ma$ . Pero en esta derivación, la masa se supone implícitamente constante. Pero para las Bandas no parabólicas, la masa efectiva cambia a lo largo de la banda. Por lo tanto, no se puede utilizar la definición común para la masa efectiva.

Véase también: "Masa efectiva y relación energía-masa" de Viktor Ariel; arXiv:1205.3995v1