Colección de preguntas sin respuesta que requieren trabajo

Question

Esta pregunta se inspira en un comentario sobre una pregunta popular reciente:

¿Qué área es mayor, la azul o la blanca?

Advertencia: ¡Spoiler abajo! - ¡No sigas leyendo si quieres resolverlo tú mismo!

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Hay varias maneras de llegar a la respuesta de que las regiones tienen el mismo tamaño, como se ve con derivaciones directas en las respuestas a la pregunta enlazada anteriormente. Algunos usuarios se esfuerzan valientemente por superar el tedio de argumentos geométricos y otros han una manera más hábil de llegar a la respuesta.

Sin embargo, este comentario muy votado adjunta a la propia pregunta me hizo reflexionar:

Es una regla general que en todos los rompecabezas en los que se pregunta "qué área es más grande" la respuesta siempre es que ambas áreas tienen el mismo tamaño, incluso cuando una es visiblemente enorme y la otra visiblemente diminuta.

A medida que ha pasado el tiempo y he visto más preguntas que encajan con el espíritu del comentario anterior, creo que me he desilusionado un poco con este tipo de preguntas/puzzles. No me malinterpretes: me encanta la satisfacción de una larga derivación/prueba para demostrar algo, digamos, los tamaños relativos de las áreas de regiones sombreadas de distinto color. Pero mi intuición y mi inclinación a intentar encontrar una respuesta "ingeniosa" eliminan en cierto modo la satisfacción de elaborar una demostración de forma más explícita.

Lo que digo es que para este tipo de preguntas, una intuición hábil puede "estropear" la respuesta porque realmente no se necesita que hacer una derivación completa para obtener la respuesta correcta. Si decido ignorar el método ingenioso y hacer una derivación no ingeniosa para mi propia satisfacción, me siento como si estuviera simplemente verificar una respuesta frente a descubrir la solución .

He aquí unas sencillas ilusiones ópticas que preguntan, respectivamente, "¿Qué línea del medio es más larga?", "¿Qué rectángulo blanco es más largo?", "¿Qué sector es más grande?" y "¿Qué franja vertical es más larga?".

No estoy diciendo que estos enigmas/preguntas puedan responderse sin un dispositivo de medición o formulaciones rigurosas de lo que se da y lo que se desconoce. Pero cuanto más veo estas ilusiones/problemas, más me parecen... clichés.

Por otro lado, hay problemas que pueden requerir algunas derivaciones para descubrir la respuesta correcta. Por ejemplo, resolver la imposibilidad de la Tableta de chocolate mágica . Tal problema está a medio camino del tipo que estoy buscando, porque la intuición física ya descarta que tal barra pueda existir; el reto (derivación) es entender y reconciliar un truco visual casi imperceptible puede engañar a tu cerebro.

Mi pregunta: Lo que busco son problemas (no sólo geométricos o relacionados con ilusiones ópticas) que requieran que uno elabore realmente diferentes derivaciones y luego compare las cosas al final.

Un ejemplo sencillo que al menos tiene el espíritu adecuado es preguntar "¿Cuál es más grande? $\pi$ o $22/7$ ?" Si sabes que $\pi \approx 3.14159$ y que $22/7 = 3 \frac{1}{7}$ esto se convierte en una cuestión de "demostrar" que $1/7$ tiene una expansión decimal (repetida) de $1/7 = 0.142857...$ .

Una pregunta más complicada con el mismo espíritu es "Sin una calculadora, determina cuál es más grande: $e^\pi$ o $\pi^e$ ."

Entiendo que esta pregunta pueda ser percibida como vaga o demasiado subjetiva para el MSE. Aclararé lo que quiero decir con preguntas "no capciosas" si se me pide una sugerencia concreta.

[Nota: He etiquetado esta pregunta con la etiqueta "intuición", pero lo que realmente pretendo es encontrar problemas que se ajusten más al espíritu de la "anti-intuición"].

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Answer 1

A continuación se muestra un gráfico de la función de densidad de la distribución de probabilidad $\mathsf{Exp}(\text{rate}=1).$ Las áreas bajo la curva a ambos lados de la línea azul vertical son iguales. La función de densidad es $f(x) = e^{-x},$ para $x > 0$ y la línea está en $-\ln(1/2),$ la mediana de la distribución.

La solución es elemental elemental. (Si hay una respuesta "ingeniosa", no he sido lo suficientemente inteligente como para descubrirla.) Versiones similares, ligeramente más complicadas, implican otras distribuciones fuertemente sesgadas. muy sesgada para la que es difícil visualizar el área bajo la larga cola que se extiende hasta $+\infty.$ Dependiendo de la velocidad de "decadencia cada lado de la mediana puede parecer tener mayor superficie.

Adenda: De acuerdo. Dos más.

$\mathsf{Gamma}(shape=.3,rate = 1),$ donde se encuentra el complicación adicional de juzgar el área junto a una asíntota vertical. Puede ser necesario un programa informático para la solución de algunos miembros de la familia de distribuciones gamma. de distribuciones.

qgamma(.5, .3, 1)
## 0.07313114        # median, vertical blue line
pgamma(.07313114, .3, 1)
## 0.5               # area to left of median

$e^X \sim \mathsf{LogNorm}(0,1),$ si $X \sim \mathsf{Norm}(0,1).$ Los parámetros habituales de la distribución lognormal son la media y la desviación típica de la normal correspondiente. Obviamente, la mediana de la lognormal es $e^0 = 1.$ [Por cálculo, la media es $\sqrt{e},$ modo es $1/e.$ ]