¿Cómo puedo demostrar que la línea de Sorgenfrey no es sigma compacta?

Question

¿Puede alguien darme una pista para demostrar que la recta de Sorgenfrey no es sigma compacta? gracias de antemano

Answer 1

Sea $\Bbb S$ la recta de Sorgenfrey. Una forma de demostrar que si $\Bbb S$ fuese $\sigma$-compacta, $\Bbb S\times\Bbb S$ también sería $\sigma$-compacta y por lo tanto Lindelöf; $\Bbb S\times\Bbb S$, sin embargo, no es Lindelöf. Otra forma es demostrar que los subconjuntos compactos de $\Bbb S$ son en ninguna parte densos en la topología euclidiana y luego usar el teorema de la categoría de Baire.

Answer 2

CONSEJO. Utilice el hecho de que cada subconjunto no numerable de $\mathbb{R}$ tiene un punto límite a dos lados (¡si no sabías esto, demuéstralo!).

Luego tome un $S_0 \subset S$, la Línea de Sorgenfrey, sea un subespacio compacto que es no numerable. Utilice el lema y encuentre una secuencia convergente en $S_0$. ¿Puedes usar esto para ayudarte a encontrar una cubierta abierta sin subcubierta finita?

¿Qué puedes concluir entonces?