Es el verdadero locus de una curva elíptica de la intersección de un toro con un avión?

Question

En Lawrence Washington el libro de Curvas Elípticas: Teoría de los números y Criptography he leído que si $E$ es una curva elíptica definida sobre los números reales $\mathbb{R}$ entonces el conjunto de puntos reales $E(\mathbb{R})$ puede ser obtenida como la intersección del toro de puntos complejos $E(\mathbb{C})$ y un avión. La siguiente es la página correspondiente del libro.

Básicamente dice que si el plano pasa a través del agujero en el toro, a continuación, el verdadero foco de la curva elíptica tiene el siguiente aspecto

y si no, parece que esto

Así que pasando a través del agujero en el medio parece para determinar si la gráfica de la curva elíptica tiene dos componentes reales o sólo uno. Nunca he visto una reclamación antes en otros libros sobre curvas elípticas, y estoy muy curioso acerca de ella. Así que tengo un par de preguntas sobre este tema.

1. Puede que esta afirmación sobre el verdadero locus de ser la intersección de un toro con un avión se hizo precisa de alguna manera, y si es así ¿puede alguien por favor proporcione una explicación al respecto?
2. Si esto es posible, puede un ejemplo claro se da?

Notas:

1. Tengo que decir que estoy realmente confundido acerca de esto porque la correspondencia de una curva elíptica con un toro (cuando se considera el complejo puntos de $E(\mathbb{C})$) está dada por un isomorfismo con el complejo de módulo de red, por lo que incluso el pensamiento acerca de la intersección de "el toro" con un avión parece bastante extraño para mí.
2. La referencia a la sección 9.3, en el libro no parece aclarar esto, que básicamente se trata de la identificación de la curva elíptica con el toro.

Muchas gracias por cualquier ayuda con estas preguntas.

Answer 1

El complejo de los puntos de la curva elíptica encuentran en el plano proyectivo sobre $\mathbb C$. Suponiendo que los coeficientes de la curva elíptica en $\mathbb R$, luego se hace perfecto sentido para intersectar la curva con el plano proyectivo sobre $\mathbb R$. Si olvidamos el punto en el infinito, entonces podemos pensar que estamos intersección de una cierta perforado toro en $\mathbb C^2$$\mathbb R^2$.

Por supuesto, el toro no está incrustado tan bien como en la foto que has publicado (o, más exactamente, que no es tanto una cuestión de "pulcritud" de la integración, sino más bien el hecho de que el toro está incrustado holomorphically en $\mathbb C^2$, que como un verdadero colector es de dimensión cuatro), pero la descripción de la intersección sin embargo es correcto.

Añadido: David Speyer respuesta aquí hace un punto importante acerca de la topología de la intersección, la cual no tengo dirección en mi respuesta.

Answer 2

A mí me parece que el pasaje en Washington es engañosa en algún aspecto. Si usted tiene un 'toro' $T$ $\mathbb{R}^3$ y se cruzan con un avión que pierde el hoyo, la intersección resultante será contráctiles en $T$. Sin embargo, el verdadero foco de una curva elíptica es NO contráctiles dentro de la curva.

En el caso de que el verdadero locus tiene un componente, la curva elíptica se parece a $\mathbb{C}/\Lambda$ donde $\Lambda$ es el entramado generado por $1$ $1/2 + i \tau$ de $\tau$. Fundamental el dominio de esta red es un rombo, con vértices $0$, $1/2 + i \tau$, $1$ y $1/2 - i \tau$. El verdadero foco de la curva de la diagonal de este rombo ejecución de$0$$1$. En particular, no es contráctiles.

Aparte de eso, yo, por supuesto, de acuerdo con Matt E. la respuesta.