Convolución de la distribución atemperada( $K$ ) y gaussiano. si $K = K*e^{-\pi |x|^2}$ entonces $K$ es un polinomio de primer grado.

Question

P : Necesito demostrar que si $K$ es una distribución templada en $\mathbb{R}$ satisfactoria: \begin{equation} K = K*e^{-\pi |x|^2} \end{equation} entonces $K$ es un polinomio de primer grado. media $K(x) = Ax + b$

Observación: La pregunta ha sido modificada. La original era demostrar que si $K = K * e^{-\pi |x|^2}$ entonces $K$ es constante, lo cual es falso.

Lo primero que hice fue aplicar la transformada de fourier a ambos lados para trabajar con multiplicación en lugar de convolución. y obtuve $\hat{K} = e^{-\pi |x|^2} \hat{K}$ .

He conseguido demostrar $\hat{K}$ se apoya en el origen y por el teorema 1.7 en la página 110, de Stein y Shakarchi análisis funcional(No puedo encontrar el pdf en línea) o el teorema 6.25 en la página 165 de Rudin Análisis funcional : \begin{equation} \hat{K} =\sum_{|\alpha| \leq N} a_{\alpha} \partial^{\alpha}\delta \end{equation} .

Ahora, si aplico la transformada inversa de Fourier obtengo que $K$ es un polinomio.

La solución surgirá si demuestro que si $p$ es un poliomio en $\mathbb{R}^{d}$ satisfaciendo $p*e^{-\pi |x|^2} = p$ entonces $p$ es constante.

Parece cierto(que no lo es, por favor vean los comentarios) pero creo que es un poco "feo" de probar y estoy bastante seguro de que hay otra manera de que pueda continuar.

¿Caliente para continuar?

Gracias :)

Answer 1

Como mencioné en el comentario, el problema es falso. De hecho $p$ sea cualquier polinomio armónico. Entonces, observando que

$$ \Phi(x,t) = \frac{1}{(4\pi t)^{d/2}}e^{-\frac{|x|^2}{4t}} $$

es la solución fundamental de la ecuación del calor $\partial_t\Phi = \Delta\Phi$ tenemos

$$ \partial_t(p*\Phi) = p*(\partial_t\Phi)=p*(\Delta\Phi)=(\Delta p)*\Phi=0. $$

Junto con $ p(x) = \lim_{t\to 0} (p*\Phi)(x,t) $ esto implica que $p = p*\Phi$ . Luego enchufando $t = \frac{1}{4\pi}$ prueba

$$ p = p * e^{-\pi|\cdot|^2}. \tag{*} $$

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Sospecho que lo contrario también es cierto, ya que la condición $\text{(*)}$ implica que $p(x) = (p*\Phi)(x,\frac{n}{4\pi})$ para cualquier número entero $n \geq 1$ . Esto sin duda suena como otra línea de pregunta interesante, aunque no tengo una buena idea para probar esto en este momento.