Al demostrar que $\psi_1=\sin(n\pi x/a)$ y $\psi_2=\cos(n\pi x/a)$ son ortogonales entre sí en una caja 1D, el principal problema al que me enfrento es qué utilizar como dominio de integración. Si tomo el intervalo $[0,a]$ como usamos en la ecuación de onda de Schrodinger, el resultado no da $0$ pero si tomo el intervalo desde $[-a,a]$ satisface la ortogonalidad. ¿Cómo sé qué intervalo debo utilizar? ¿Existe alguna regla?
Respuestas
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Himanshu Sahu
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La forma correcta de escribir estas dos funciones de onda es $$ \psi_n(x) =\begin{cases} A \sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) & -a/2\leq x\leq a/2 \\ 0 & \text{elsewhere} \end{cases}, \ \ \ n=2,4,6\cdots $$ $$ \psi_m(x) = \begin{cases} B\cos\left(\frac{m\pi x}{a}\right) & -a/2\leq x\leq a/2 \\ 0 & \text{elsewhere} \end{cases}, \ \ \ m=1,3,5,\cdots $$ donde $A$ y $B$ son constantes de normalización.
La condición de ortonormalidad dada por $$\int_{-\infty}^\infty\psi^*_m(x)\psi_n(x)dx=\delta_{nm}$$
En nuestro caso, $$\rightarrow \int_{-a/2}^{a/2}AB\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\cos\left(\frac{m\pi x}{a}\right)dx=0$$
Utilice el hecho de que $$\int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a[f(x)+f(-x)]dx$$ Como la integrada es una función impar, la integral es cero como era de esperar.
Puede encontrar $A$ y $B$ vía $$\int |\psi_i(x)|^2dx=1\ \ \ i=n,m$$ $$\rightarrow A=B=\sqrt{\frac{2}{a}}$$ $$\int_{-\infty}^\infty\psi^*_m(x)\psi_n(x)dx=\delta_{nm}$$ Como prometí :)
Por supuesto, se ha utilizado un poco de suposición. Consideramos que el potencial de la caja:
$$ V(x) = \begin{cases} 0 & -a/2\leq x\leq a/2 \\ \infty & \text{elsewhere} \end{cases} $$ que es hacer válidas las funciones de onda dadas.
Spencer Uresk
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No existe ninguna regla para determinar el intervalo. Es simplemente una consecuencia del problema en cuestión. Consideremos una partícula libre en una caja 1D.
Consideremos una partícula de masa $m$ moviéndose dentro de una caja de potencial unidimensional, restringida entre $x=0$ y $x=a$ . Para resolver este problema tenemos que resolver
$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\Psi(x)=E\Psi(x),$$
sujeta a condiciones de contorno apropiadas
$$\Psi(0)=\Psi(a)=0.$$
La solución de la ecuación de la función propia de la energía es fácil. Viene dada por una combinación lineal de funciones trigonométricas
$$\Psi(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx),$$
donde $k=\sqrt{2mE/\hbar^2}$ . Apliquemos ahora las condiciones de contorno
$$0=\Psi(0)=A\cos(0)+B\sin(0)=A\rightarrow A=0,$$ $$0=\Psi(a)=B\sin(ka)=0\rightarrow ka=n\pi.$$
Por lo tanto, las funciones propias de energía de este problema vienen dadas por
$$\Psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right),\qquad E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}.$$
Hemos determinado el $B$ exigiendo que las funciones propias de energía estén normalizadas, $\int dx \Psi(x)^*\Psi(x)=1$ .
Ahora volviendo a su pregunta, podemos ver que $\psi_1 = \sin\left(\frac{nx}{a}\right)$ y $\psi_2 = \cos\left(\frac{nx}{a}\right)$ no son funciones de onda significativas para el problema que nos ocupa. En primer lugar, no están normalizadas. En segundo lugar, no satisfacen las condiciones de contorno.
Como he demostrado, encontramos las eigenfunciones de energía del problema. Eso significa que podemos expandir cualquier función de onda en términos de estas eigenfunciones de energía como
$$\left|\Psi\right>= \sum_{n=0}^{\infty}\left|n\right>\left<n|\Psi\right>=\sum_{n=0}^{\infty}c_n\left|n\right>.$$
Escribir en el espacio de posición
$$\left<x|\Psi\right>=\Psi(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n \Psi_n(x),$$
por lo tanto cualquier función de onda es una combinación lineal dada por
$$\Psi(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right).$$
Dado que cualquier función de onda puede escribirse como una combinación lineal de las funciones propias de energía, basta con determinar las propiedades de ortogonalidad de las funciones propias de energía únicamente
$$\left<\Psi_n(x),\Psi_m(x)\right>=\int_{0}^{a}dx\ \Psi_n^*(x)\Psi_m(x).$$
Usted mismo puede comprobar fácilmente que
$$\int_{0}^{a}dx\ \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\sin\left(\frac{m\pi}{a}x\right)=0,\qquad n\neq m,$$
y
$$\int_{0}^{a}dx\ \sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)\sin\left(\frac{n\pi}{a}x\right)=\sqrt{\frac{a}{2}}.$$
Por lo tanto, decimos que las funciones propias de energía forman una base ortonormal.
Observación al margen:
Si se piensa de forma completamente independiente de la mecánica cuántica, por ejemplo haciendo sólo el análisis de Fourier, se puede hablar de ortogonalidad en los espacios de funciones. Si estás considerando funciones en el intervalo $x\in [-\pi,\pi]$ se puede escribir cada función utilizando la serie de Fourier
$$f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos(nx)+\sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin(nx).$$
Entonces se puede definir el producto interior como
$$\left<f(x),g(x)\right>=\int_{-\pi}^{\pi}dx\ f(x)g(x).$$
jpierson
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No hay ninguna regla, depende de lo que quiera utilizar el autor del ejercicio. Sin embargo, las soluciones $\psi_1$ y $\psi_2$ también saldrán ligeramente diferentes, dependiendo de la configuración elegida en el ejercicio. Si las soluciones satisfacen la ecuación de Schröedinger para el potencial correcto, automáticamente saldrán ortogonales. El problema al que te enfrentas es que estás utilizando soluciones para un potencial en un potencial diferente, por lo que en realidad no resuelven tu ecuación de Schroedinger.
En resumen: no hay que pensar en cómo elegir el potencial correcto para unas soluciones dadas, sino en cómo obtener las soluciones correctas para un potencial dado.
