problema de centroides y perpendiculares

Question

en triángulo $ABC$ , $G$ es el centroide y $L$ es una línea arbitraria que pasa por el centroide. $K,I,J$ son el pie de las perpendiculares desde $A, B, C$

necesito probar que $KA+JC=BI$

como usar los puntos medios de los lados y hay alguna manera de usar el hecho de que el centroide corta la mediana en proporción 2:1

Answer 1

En cualquier coordinación cartesiana del plano, el centroide de un conjunto de puntos es simplemente la media aritmética. En particular, si $G$ es el origen y $L$ el $x$ -Eje, $0$ debe ser la media aritmética de los $y$ -coordenadas de $A,B,C$ es decir, con distancias con signo $IB+KA+JC=0$ . Si $B$ está solo en un lado de $L$ entonces con distancias sin signo $IB=KA+JC$ .

Answer 2

Alternativamente, se puede demostrar la afirmación utilizando los hechos que mencionas. Introducir el punto medio $M$ de $AB$ y su proyección ortogonal $N$ en la línea $L$ . Desde $ABJK$ es un trapecio $(AK\parallel BJ\perp L)$ es bien conocido que su línea media $MN$ no sólo es paralela a $AK, BJ$ sino que también satisface $2MN=AK+BJ$ .

Consideremos ahora los triángulos semejantes $\triangle MGN\sim CGI$ y deducir, debido a que $CG:GM=2:1$ que $$\frac{CI}{MN}=2\iff CI=2MN=AK+BJ$$