Demuestra que es un dominio integral.

Question

Sea $Z[\sqrt-3 ]=\lbrace a+b\sqrt-3: a,b \in Z\rbrace$ . Con las operaciones habituales en los números complejos. Demostrar que Z es un dominio integral y que 2 es irreducible en $Z[\sqrt-3]$ .

Es fácil demostrar que el conjunto junto con las operaciones es un anillo con unidad. No estoy seguro de cómo demostrar que no tiene divisores de cero y que 2 es irreducible. La explicación de estos pasos será muy útil. Muchas gracias.

Answer 1

Sugerencia $\ $ Para ambos, toma normas: $\, ab = 0\,\Rightarrow\, (aa')(bb') = 0,\,$ y $\,ab = 2\,\Rightarrow\, (aa')(bb') = 4.$ Dado que una norma $\, aa'= n^2+3k^2 \ne 0,2,$ ninguno de los dos es posible (salvo el caso trivial $\,n=0=k,\,$ cuando $\,a = 0).$