Teorema básico del análisis vectorial - Condición de que 4 puntos $A,B,C,D$ tres de los cuales no son colineales, estarán en un plano

Question

Estoy haciendo un primer curso de cálculo vectorial. Estoy tratando de escribir una prueba para el siguiente teorema.

La prueba en el libro divide esto en dos casos -

(i) bien el $\vec {AB}$ es paralelo a $\vec {CD}$ Así que $\vec {AB} = k \cdot\vec{CD}$

(ii) $\vec {AB}$ se cruza con $\vec {CD}$ en algún momento $P$ Así que $p=\frac{a+\lambda b}{1+\lambda}=\frac{c+\lambda' d}{1+\lambda'}$

Aunque conozco la fórmula de la sección, no se me ocurrió la formulación anterior por mi cuenta. La siguiente es mi prueba. ¿Podría alguien comentar, si la prueba es elegante, y también aceptable?

Teorema. Cuatro puntos $A,B,C,D,$ de los cuales tres no son colineales, estarán en un plano cuando y sólo cuando existan cuatro números distintos de cero $\alpha,\beta,\gamma,\delta,$ tal que

$$\alpha a+ \beta b + \gamma c + \delta d = 0 \\ \alpha + \beta + \gamma + \delta = 0 $$

Prueba.

Idea: Si los cuatro puntos son coplanarios, deberíamos poder construir un paralelogramo de la diagonal sobre $\vec{CD}$ con lados como múltiplos escalares de $\vec {AB}$ y $\vec {CD}$ .

Sea

$\begin{aligned} \vec {CD} &= \lambda \vec{AB} + \lambda' \vec{BC}\\ (d - c) &= \lambda (b - a) + \lambda'(c - b)\\ d &= -\lambda a + (\lambda - \lambda')b + (1 + \lambda')c \end{aligned}$

Nos gustaría conocer los coeficientes de $a,b,c$ ser $\alpha,\beta,\gamma$ respectivo.

Set : $-\lambda = \frac{\alpha}{\alpha + \beta + \gamma}, 1+\lambda' = \frac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma}$ . Resolución de $\lambda,\lambda'$ obtenemos :

$$\begin{aligned} \lambda' &= -\frac{(\alpha + \beta)}{\alpha + \beta + \gamma}\\ \lambda - \lambda' &= \frac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma} \end{aligned}$$

Por lo tanto, tenemos :

$$\begin{aligned} d &= \frac{\alpha}{\alpha + \beta + \gamma}a + \frac{\beta}{\alpha + \beta + \gamma}b + \frac{\gamma}{\alpha + \beta + \gamma}c \\\\ (\alpha + \beta + \gamma)d &= \alpha a + \beta b + \gamma c \end{aligned}$$

Sea $\delta = -(\alpha + \beta + \gamma)$ . Así,

$$ \alpha a + \beta b + \gamma c + \delta d = 0 $$

Además, estas constantes son distintas de cero, ya que $\lambda,\lambda'$ no puede ser $0,\infty$ .

Answer 1

Sea $x_0, x_1, x_2, x_3$ sean los puntos. Entonces los cuatro puntos están en el mismo plano si array cuyas filas son las coordenadas de $x_1-x_0, x_2-x_0, x_3-x_0$ tiene un rango de dos.

Answer 2

La prueba en el libro divide esto en dos casos

No entiendo muy bien esto. Sólo hay dos sólo si se supone que los puntos ya son coplanarios. De lo contrario, es perfectamente posible que $AB$ y $CD$ son oblicuas, es decir, no son paralelas ni se cruzan.

La forma más directa, en mi opinión, sería reescribirlo de forma equivalente:

Teorema. Cuatro puntos $A,B,C,D,$ tres de los cuales no son colineales, estarán en un plano cuando y sólo cuando existan tres números distintos de cero $\alpha,\beta,\gamma\,,$ con $\alpha+\beta+\gamma \ne 0\,$ s $$\alpha a+ \beta b + \gamma c - (\alpha+\beta+\gamma) d = 0$$

Esto se reduce a:

$$ d= \frac{\alpha a+ \beta b + \gamma c}{\alpha+\beta+\gamma} = a + \frac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}(b-a) + \frac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}(c-a) \\[20px] \iff\quad\quad d-a = \lambda (b-a) + \mu(c-a) $$

Esto último significa $\vec{AD}$ es una combinación lineal de $\vec{AB}$ y $\,\vec{AC}\,$ que es la condición necesaria y suficiente para que los puntos sean coplanarios.