La mecánica cuántica como la teoría del campo

Question

Podemos ver la normal, la mecánica cuántica no relativista como una clásica de campos?

Yo sé, que se puede derivar la ecuación de Schrödinger de la densidad Lagrangiana

$${\cal L} ~=~ \frac{i\hbar}{2} (\psi^* \dot\psi - \dot\psi^* \psi) - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi^* \cdot \nabla \psi - V({\rm r},t) \psi^*\psi$$

y el principio de la menor acción. Pero también he oído, que esta no es la verdadera mecánica cuántica como una imagen no tiene probabilística de la interpretación.

Espero que la respuesta no es obvia, pero el tema es muy difícil de Google (como puedo obtener siempre resultados para QFT :)). Así que los punteros a la literatura son bienvenidos.

Answer 1

Usted ciertamente no podía recuperar los efectos cuánticos con un tratamiento clásico de Lagrange. Si quería recuperar la mecánica cuántica desde el campo de Lagrange que has escrito, se podría restringir su enfoque a la partícula sector de Fock espacio o considerar un worldline tratamiento. Para leer más acerca de la de este último, buscar Siegel en línea de QFT libro "Campos" [hep-th/9912205] o Strassler de la "Teoría de Campo sin los Diagramas de Feynman" [hep-ph/9205205] para las aplicaciones de la técnica.

Answer 2

Podemos ver la normal, nonrelativistic la mecánica cuántica como una clásica de campos?

Sí, usted puede ver la función de onda $\psi(x,t)$ como un simple complejo de valores de campo en el espíritu de, digamos, la electrodinámica clásica. Este campo describe la mecánica cuántica de un solo electrón, pero es un clásico en el sentido de que es un ordinario de la función $\psi(x,t) : \mathbb R^3\times\mathbb R \to \mathbb C$.

Como de costumbre, usted puede tener un montón de diversión con el Lagrangiano. Por ejemplo, usted puede notar que tiene un (global) $U(1)$ simetría $\psi \mapsto e^{iθ}\psi$ y aplicar el teorema de Noether. Usted encontrará una ecuación de continuidad para la cantidad de $\psi^*\psi$, lo que solemos interpretar como la densidad de probabilidad.

Por supuesto, la ecuación de Schrödinger se limita a la no-relativista y la física, así que la gente empezó a buscar un equivalente relativista. Dirac epónimo de la ecuación fue la intención de ser precisamente eso: una ecuación para una clásica campo que describe un mecánico-cuántica de electrones en un Lorentz-covariante. Por supuesto, no debe ser un equivalente de la densidad de probabilidad $\psi^*\psi$, lo cual siempre es positivo, pero no importa cómo usted lo hace girar, esto no funcionó, incluso para la ecuación de Dirac.

La solución a este problema es que los electrones no vivir en el aislamiento, son idénticos y las partículas unidas entre sí por el principio de exclusión de Pauli. Dirac sólo podría hacer sentido de su ecuación mediante la consideración de un número variable de electrones. Aquí es donde la música clásica $\psi$ ha de ser promovido a un campo cuántico $\Psi$, un proceso conocido como la segunda cuantización. ("Primera cuantización" se refiere al hecho de que la música clásica $\psi$ ya describe un mecánico-cuántica de partículas.)

Resulta que la segunda cuantización es también necesario explicar ciertas correcciones a la ordinaria de la ecuación de Schrödinger. En esta luz, la música clásica $\psi$ es realmente una aproximación como la negligencia de la influencia de un número variable de partículas.

El proceso de estudio de un número variable de partículas es en realidad bastante ordenado. Si ir de uno a dos partículas, usted tendría que considerar un clásico campo de $\psi(x_1,x_2)$ que depende de dos variables, las posiciones de partículas. Va a $N$ de las partículas, se tendría un campo de $\psi(x_1,\dots,x_N)$ en función de muchas variables. Usted puede obtener todas las partículas a la vez, teniendo en cuenta un operador de valores de campo $\Psi(x)$ en lugar de eso, lo que crea una partícula en la posición $x$. Resulta que se puede sustituir $\psi$ $\Psi$ en el de Lagrange para obtener las ecuaciones de movimiento de todas las partículas a la vez.

Por desgracia, tengo que dejar aquí, más detalles en la segunda cuantización y la teoría cuántica de campos que están más allá del alcance de esta respuesta.

Sobre la literatura, he encontrado Sakurai Avanzados de la Mecánica Cuántica a ser una muy clara, si algo de largo aliento introducción a la teoría cuántica de campos que comienza donde la ecuación de Schrödinger dejó.

Answer 3

En efecto, la verdadera Lagrange para la ecuación de Schrödinger esto lleva a partir de

$${\cal L}=i \hbar\psi^*\dot\psi-\frac{\hbar^2}{2m}|\nabla\psi|^2-V({\bf x},t)\psi^*\psi$$

y la acción se convierte en

$$S=\int dtd^3x{\cal L}.$$

Una de Lagrange para la ecuación de Schrödinger sólo tiene sentido en una teoría cuántica de campos contexto cuando usted hace una segunda cuantización de la función de onda de Schrödinger. Esto se aplica en muchos campos y sobre todo en materia condensada y, en general, para muchos el cuerpo de la física. En este caso, usted tiene que generalizar esta ecuación a la ecuación de Pauli y el trabajo con spinor y anticommutation reglas para describir la materia ordinaria.

Entonces, la probabilística de la interpretación se aplica a los estados en el espacio de Fock para el problema de los tres cuerpos que usted está considerando.

Answer 4

Tong notas de la conferencia de la cubierta de esto en detalle. En concreto, el lagrangiano es fácil de obtener a partir de un complejo campo escalar que obedece a las de Klein-Gordon ecuación en el no-límite relativista. Este lagrangiano da lugar a una conservado Nöther actual de la misma forma que la de Schrödinger, pero esto no tiene la interpretación de conserva de probabilidad, debido a que $\psi \psi^*$ es no la densidad de probabilidad para una partícula a estar en posición específica en el tiempo especificado. Con el fin de obtener QM, usted necesitará para cuantizar el campo, la construcción de la función de onda como la superposición de una sola posición de la partícula a los estados, a continuación, obtener el hamiltoniano y la ecuación de Schrödinger.