¿Qué números son estos y por qué aparecen aquí?

Question

Esto surgió al intentar evaluar $\sum n^3/2^n$ . Para ello tuve que diferenciar y multiplicar repetidamente por $x$ para que la función coincida con la suma. ¿Qué son estos números y por qué aparecen aquí? Apreciaría algo más de comprensión en cuanto a cómo exactamente estos coeficientes de la expansión vienen a través de este proceso iterado

Answer 1

Un pequeño y útil truco.

Considere, por el momento $$S=\sum_{n=1}^p n^3\, x^n$$ y escribe $$n^3=n(n-1)(n-2)+3n(n-1)+n$$ $$S=\sum_{n=1}^p n(n-1)(n-2)\, x^n+3\sum_{n=1}^p n(n-1)\, x^n+\sum_{n=1}^p n\, x^n$$ $$S=x^3\sum_{n=1}^p n(n-1)(n-2)\, x^{n-3}+3 x^2\sum_{n=1}^p n(n-1)\, x^{n-2}+x\sum_{n=1}^p n\, x^{n-1}$$ $$S=x^3\Bigg[\sum_{n=1}^p x^n \Bigg]'''+3x^2\Bigg[\sum_{n=1}^p x^n \Bigg]''+x\Bigg[\sum_{n=1}^p x^n \Bigg]'$$ y $$\Bigg[\sum_{n=1}^p x^n \Bigg]=\frac{x \left(x^p-1\right)}{x-1}=1+\frac{ \left(x^p-1\right)}{x-1}$$ Cuando termine, deje $x=\frac 12$

Answer 2

Respuesta parcial:

Una comprobación del OEIS, entrada $A000278$ sugiere que estos coeficientes son los (triángulo reflejado de los) números de Stirling de segundo tipo.

Los números de Stirling del segundo tipo ( Wikipedia ) dan el número de formas de particionar un $n$ -miembro fijado en $k$ subconjuntos no vacíos y no etiquetados. Se puede definir algebraicamente

$$\newcommand{\S}[2]{{#1 \brace #2}} \S n k := \frac{1}{k!} \sum_{i=0}^k (-1)^i \binom k i (k-i)^n $$

Wikipedia ofrece una tabla con algunos valores:

Observa cómo si alineas tu triángulo a la izquierda, eliminas la primera columna de la tabla de abajo e inviertes el orden de las entradas de tu triángulo (o el de Wikipedia), obtienes una coincidencia.

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Sin embargo, no entiendo por qué aparecen estas cifras en su resumen.

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¿Una alternativa posible?

Otras comprobaciones de la OEIS sugieren la secuencia $A213735$ ( enlace ) puede estar relacionado, ya que parece coincidir con el mismo patrón, pero con factores negativos adicionales.

La definición de esta secuencia implica factorial descendente denotado $(x)_k$ es como un factorial pero sólo retrocede lo suficiente para obtener $k$ factores:

$$(x)_k = x(x-1)(x-2) \cdots (x-(k-1)) = \frac{x!}{(x-k)!}$$

La secuencia sugiere una relación con la expansión de $(x+k)_k$ y expresando $x^n$ como

$$x^n = \sum_{i=n-1}^1 a_i (x+i)_i$$

(donde los límites extraños garantizan que sumemos en orden decreciente, como en la OEIS). El sitio $a_i$ dan los miembros de la secuencia/triángulo que formamos.

Hay algo en esto que me parece más probable, pero no sé muy bien cómo.