Cómo dibujar una imagen en función de un conjunto dado

Question

Para la función, $f(r,\theta)= (r\cos\theta , r\sin\theta )$ Quiero esbozar la imagen bajo $f$ del conjunto $S=[1,2]$ x $ [0,\pi]$

Mi primer paso fue encontrar las imágenes de $f$ a lo largo de los bordes de los segmentos de línea dados por el rectángulo. Sin embargo, no estoy seguro de cómo proceder para encontrar el boceto de toda la imagen. A continuación se muestra lo que obtuve de fijación $r$ y $\theta$ en los segmentos de línea limítrofes

$$f(r,0)=(r,0)$$ $$f(r,\pi)=(-\pi,0)$$ $$f(1,\theta)=(\cos\theta, \sin\theta)$$ $$f(2,0)=(2\cos\theta, 2\sin\theta)$$

Gracias de antemano

Answer 1

Tienes una buena idea, pero has cometido algunos errores en la aplicación.

Los primeros valores son correctos: $f(r,0)=(r,0)$ . Desde $r\in[1,2]$ es el segmento de recta entre los puntos $(1,0)$ y $(2,0)$ .

Tus segundos valores son erróneos. Deberían ser

$$f(r,\ \pi)=(r\cos\pi,\ r\sin\pi)=(r\cdot -1,\ r\cdot 0) = (-r,\ 0)$$

Otra vez, $r\in[1,2]$ por lo que este es el segmento de línea entre los puntos $(-1,0)$ y $(-2,0)$ .

Sus terceros valores son correctos, $f(1,\ \theta)=(\cos\theta,\ \sin\theta)$ . Deberías reconocer esto como una parametrización del círculo unitario -¿recuerdas tus definiciones de coseno y seno en la clase de trigonometría? (Pregunta si necesitas más detalles sobre esto.) Sin embargo, este no es el círculo completo, ya que el ángulo $\theta$ se limita a $[0,\ \pi]$ . Así se obtiene el semicírculo superior unitario.

Sus cuartos valores son casi correctos: $f(2,\ \theta)=(2\cos\theta,\ 2\sin\theta)$ . Utilizando de nuevo la trigonometría, se trata de la circunferencia con centro en el origen y radio $2$ . De nuevo, las limitaciones del ángulo dan el semicírculo superior de radio $2$ .

Juntando todo esto, el límite de tu región es la mitad superior de la "arandela" con radio interior $1$ y radio exterior $2$ . La región es el límite con su interior. He aquí un gráfico sin sombrear el interior.