Coordenadas polares como técnica definitiva para evaluar límites

Question

Muchas preguntas dicen "usar coordenadas polares" para calcular límites cuando se acercan a $0$ .

Pero, ¿es el uso de coordenadas polares la mejor forma de evaluar los límites, es más, de demostrar que existen?

¿Tienen en cuenta todas las direcciones posibles para aproximarse a un límite, por ejemplo, a lo largo de una parábola?

En concreto, si tuviera que demostrar que $$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)} f(x,y)=L$$ utilizando coordenadas polares, ¿es eso suficiente para afirmar que el límite es, en efecto, $L$ . ?

Answer 1

Normalmente la técnica de "usar coordenadas polares" para evaluar límites de dos variables funciona así: Escribe $f(x,y) = g(r,\theta)$ y que $r\to 0$ . Si el límite sigue dependiendo de $\theta$ el límite de dos variables $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ no existe.

Pero si $\lim_{r\to 0} g(r,\theta) =L$ no basta con decir que $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)=L$ . Por ejemplo $$f(x,y) = \frac{x^2y}{x^4+y^2}$$ Entonces, sustituyendo $x=r \cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ da $$f(x,y) = \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^4\cos^4\theta + r^2\sin^2\theta} = \frac{r\cos^2\theta\sin\theta}{r^2\cos^4\theta + \sin^2\theta}$$ como $r\to0$ la expresión de la derecha tiende a cero. Pero $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)\neq 0$ . Si nos acercamos $(0,0)$ a lo largo de la línea $y=x^2$ obtenemos $$\lim_{x\to 0,y=x^2} f(x,y) = \frac{x^2(x^2)}{x^4 + (x^2)^2} = \frac{1}{2}$$