¿Por qué es inyectivo el siguiente mapa

Question

Tengo una pregunta rápida sobre el mapa: $$\psi : \mathbb{C}[x,y] / (y - x^2) \rightarrow \mathbb{C}[t]$$ $$x \mapsto t$$ $$y \mapsto t^2$$

Quiero comprobar que este mapa es inyectivo. En particular, he demostrado que tiene mapa inverso. Me interesa saber ¿por qué el núcleo del mapa anterior es trivial? La forma en que lo hice fue mostrando que es el pull-back de un mapa entre variedades que es inyectivo. ¿Es posible hacerlo más directamente?

Answer 1

El mapa $\psi$ ya es un isomorfismo de $\mathbb{C}$ -álgebras:

Sea $\varphi \colon \mathbb{C}[t] \to \mathbb{C}[x,y]/(y - x^2)$ sea el único homomorfismo de $\mathbb{C}$ -con $\varphi(t) = \overline{x}$ . Entonces $$ \psi(\varphi(t)) = \psi(\overline{x}) = t $$ y así $\psi \varphi = \operatorname{id}$ y del mismo modo $$ \varphi(\psi(\overline{x})) = \varphi(t) = \overline{x} $$ et $$ \varphi(\psi(\overline{y})) = \varphi(t^2) = \overline{x^2} = \overline{y} $$ y así $\varphi \psi = \operatorname{id}$ .

Obsérvese que esto corresponde al hecho de que las variedades $V_1 = \{ (x,y) \in \mathbb{C}^2 \mid y = x^2 \}$ y $V_2 = \mathbb{C}$ son isomorfos a través de los mapas polinómicos $$ V_1 \to V_2, \quad (x,y) \mapsto x \qquad\text{and}\qquad V_2 \to V_1, \quad x \mapsto (x,x^2). $$