Grupo fundamental de una superficie compacta

Question

Sea $\mathbb{X}$ sea una superficie compacta (posiblemente con límite no vacío). Si $\pi_1(\mathbb{X})$ tiene un elemento de orden $2$ ¿podemos demostrar que $\mathbb{X}$ es homeomorfo al plano proyectivo?

Esto es lo que pensé.

1. Es evidente que $\mathbb{X}$ está cerrado, en caso contrario $\pi_1(\mathbb{X})$ sería un grupo libre.

2. $\mathbb{X}$ debe ser no orientable. Si no, la primera homología $H_1(\mathbb{X})=\mathbb Z^{2g}$ que no contiene ninguna torsión y por lo tanto $\pi_1(\mathbb{X})$ no contiene torsión.

3. Si $\mathbb{X}$ tiene género $g$ (es decir $g$ bandas de Mobius), entonces $$ \pi_1(\mathbb{X})=\langle a_1,\cdots, a_g \mid \prod_{i=1}^g a_i^2=1\rangle. $$ Sin embargo, no me queda claro cómo demostrar que $g=1$ si $\pi_1(\mathbb{X})$ contiene un elemento de orden 2.

Answer 1

Una forma de demostrarlo es utilizando el teorema de uniformización: toda superficie cerrada tiene una métrica riemanniana de curvatura constante. De ello se deduce que la cubierta universal es $S^2$ (si $g=0$ ), el plano euclidiano $\mathbb{R}^2$ (si $g=1$ ), o el plano hiperbólico $\mathbb{H}^2$ (si $g>1$ ), actuando las transformaciones de cubierta por isometrías.

Ahora bien, si el grupo fundamental tiene un elemento de orden $2$ la cubierta universal tiene una transformación de cubierta de orden $2$ . Pero cualquier isometría de $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{H}^2$ de orden $2$ tiene un punto fijo, a saber, el punto medio de los dos puntos que forman una órbita cualquiera. (Esto falla para $S^2$ si los dos puntos son antipodales ya que entonces no tienen un "punto medio" bien definido, y de hecho el mapa antipodal es una isometría de $S^2$ sin puntos fijos). Dado que una transformación de cubierta no puede tener ningún punto fijo, no puede existir una transformación de cubierta de orden $2$ si $g>0$ .

(De forma más general, se puede hacer un argumento similar utilizando el baricentro de una órbita para demostrar que el grupo fundamental no puede tener ninguna torsión si $g>0$ aunque se necesita algo de trabajo para definir el baricentro y demostrar que está fijado por isometrías en el caso hiperbólico. Alternativamente, se puede demostrar que el casco convexo de una órbita es homeomorfo a un disco y, por tanto, debe haber un punto fijo en él por el teorema del punto fijo de Brouwer).