Cómo demostrar que todo cardinal infinito es igual a $\omega_\alpha$ para algunos $\alpha$ en el libro de Kunen, I 10.19?
Agradeceré cualquier ayuda sobre esta cuestión. Gracias por adelantado.
Respuesta
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Me he tomado la molestia de leer a Kunen para entender el problema, así como las definiciones que puede utilizar para ello.
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Cardinal se define como un ordinal $\kappa$ que no hay $\beta<\kappa$ y una biyección entre $\kappa$ y $\beta$ .
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El cardenal sucesor $\kappa^+$ es el menor cardinal estrictamente mayor que $\kappa$ .
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$\aleph_\alpha=\omega_\alpha$ definidos de forma recursiva, tal y como se hace en las definiciones habituales: $\aleph_0=\omega$ ; $\aleph_{\alpha+1}=\omega_{\alpha+1}=\omega_\alpha^+$ ; en los puntos límite $\aleph_\beta=\omega_\beta=\sup\{\omega_\alpha\mid\alpha<\beta\}$ .
Ahora queremos demostrarlo:
Cada cardenal es un $\omega_\alpha$ para algunos $\alpha$ .
Tu pregunta se centra en la segunda parte del lema.
Supongamos que $\kappa$ es un cardinal infinito. Si $\kappa=\omega$ hemos terminado. De lo contrario $\beta=\sup\{\alpha+1\mid\omega_\alpha<\kappa\}$ . Afirmo que $\kappa=\omega_\beta$ .
Supongamos ahora que $\omega_\beta<\kappa$ entonces llegamos a una contradicción ya que esto significa que $\beta<\sup\{\alpha+1\mid\omega_\alpha<\kappa\}=\beta$ (ya que $\beta$ está en este conjunto, entonces $\beta<\beta+1\le\sup{\cdots}=\beta$ ).
Si es así, $\kappa\le\omega_\beta$ . Si $\beta=\alpha+1$ entonces $\omega_\alpha<\kappa\le\omega_\beta$ y por la definición de cardinal sucesor tenemos igualdad. En caso contrario $\beta$ es un cardinal límite y tenemos que $\omega_\alpha<\kappa$ para cada $\alpha<\beta$ entonces por la definición de supremum tenemos que $\omega_\beta\le\kappa$ y de nuevo tenemos igualdad.
