Bijección entre $\mathbb{Z}^2$ y secuencias acotadas - Miklos Schweitzer

Question

Sea $\alpha \leq-2 $ sea un número entero. Demostrar que para cada par $\beta_{0},\beta_{1}$ de números enteros existe un $0 \leq q_{0},...,q_{k}<\alpha^2-\alpha$ de números enteros, tal que $q_{k}\neq0$ i $(\beta_{0},\beta_{1})\neq(0,0)$ y

$\beta_{i}=\sum\limits_{j=0}^k q_{j}(\alpha-i)^j$ para $i=0,1$ .

Esta pregunta es de Miklos Schweitzer 2001.

Mi idea era demostrar que hay polinomios únicos $P_1,P_2 \in \mathbb{Z}[x]$ tal que:

$P(x)=-\beta_{1}(x-\alpha) \displaystyle \frac{P_1(x)}{P_1(\alpha-1)}-\beta_{0}(x-\alpha-1)\displaystyle \frac{P_2(x)}{P_2(\alpha)}$

y todos los coeficientes de $P(x)$ están en el intervalo $[0,\alpha^2-\alpha).$

Sin embargo, no pude ir más lejos.

Answer 1

Una reformulación del problema es :

Dado un par $(\beta_1,\beta_2)$ tenemos que demostrar que existe un polinomio único $P$ con coeficientes en $0 \ldots \alpha^2-\alpha-1$ sico que $P(\alpha) = \beta_0$ y $P(\alpha-1) = \beta_1$ .

Consideremos el coeficiente constante $q_0$ de dicho polinomio.

Tenemos $\beta_0 = q_0 \pmod \alpha$ y $\beta_1 = q_0 \pmod {\alpha-1}$ . Desde $\alpha$ y $\alpha-1$ son coprimos, por el Teorema Chino del Resto, el valor de $q_0$ modulo $\alpha(\alpha-1)$ está determinada de forma única por $\beta_0 \pmod \alpha$ y $\beta_1 \pmod {\alpha-1}$ . Dado que los números enteros de $0$ a $\alpha^2-\alpha-1$ forman un conjunto completo de representantes, de hecho sólo hay una elección posible para $q_0$ .

Sea $q_0$ sea ese número entero. Entonces necesitamos $(P(\alpha-i)-q_i)/(\alpha-i) = (\beta_i-q_i)/(\alpha-i) = \lceil \beta_i/(\alpha-i) \rceil$ . Así que nos queda demostrar que existe un polinomio único con nuevos valores $\lceil \beta_i/(\alpha-i) \rceil$ en $\alpha-i$ .

Sea $f : \Bbb Z \to \Bbb Z$ definido por $f(x,y) = (\lceil x/\alpha \rceil, \lceil y/(\alpha-1) \rceil)$ .
Si $a \le -2$ es fácil comprobar que $|\lceil b/a \rceil| < |b|$ excepto cuando $b=0$ o $b=-1$ en cuyo caso llegamos a $b= 1$ y luego a $b=0$ en nla siguiente iteración.
Por lo tanto, aplicando repetidamente $f$ a cualquier $(\beta_0,\beta_1) \in \Bbb Z^2$ llegaremos a $(0,0)$ en un número finito de pasos.

Entonces, sabemos que hay un polinomio único que obtiene valores $\beta_i$ en $\alpha-i$ si y sólo si existe un polinomio único con valores $0$ en $\alpha-i$ .

Pero de $(0,0)$ obtenemos que $q_0$ tiene que ser $0$ y así sucesivamente : cada $q_i$ tiene que ser $0$ . Por lo tanto, el polinomio cero es el único polinomio que tiene un valor de $0$ en $\alpha-i$ con lo que concluye la prueba.