Entiendo que la heurística razón por la que Gromov-Witten invariantes pueden ser racional; aproximadamente, es porque estamos haciendo la curva de cuenta en algunos stacky sentido, por lo que cada curva de $C$ contribuye $1/|\text{Aut}(C)|$ a la cuenta en lugar de $1$.
Sin embargo, no entiendo por qué o cómo Gromov-Witten invariantes pueden ser negativos. ¿Cuál es el significado de un negativo GW invariante? ¿Cuáles son algunos ejemplos sencillos?
Gromov Witten invariante se supone que para "contar" el número de curvas pero puede suceder que la dimensión del espacio de las curvas que desea contar es mayor de lo esperado. Por ejemplo, en un 3-dimensional de Calabi-Yau variedad a la espera de la dimensión de cualquier curva es 0, por lo que en una situación ideal, las curvas deben ser aislados y sólo debe contar el número de curvas de un determinado grado y género. En la práctica esto no sucede todo el tiempo y, a menudo se puede deformar curvas (aunque Clemence conjeturó que RACIONAL curvas en genérico CY 3 veces son rígidos) Por ejemplo, si usted toma un quintic en $CP^4$, se puede cortar con un 2-plano y obtener una curva que se mueve en el quintic. Mientras excpect a ser rígido. Lo que usted necesita hacer en este caso para contar el GW invariante es conisder en el espacio de moduli de las curvas de la obstrucción paquete, que será de la misma dimesnion como el espacio de moduli y entonces usted necesita para calcular la clase de Euler del paquete (esto es, en el mejor de los casos, cuando el espacio de moduli es suave).
Ahora, la clase de Euler que calcular no tiene ninguna razón en particular para ser positivo. Por supuesto, si la curva se aislaron contará con el positivo de peso, pero no lo es. No puedo proporcionar una explicite ejemplo donde se obtiene una respuesta negativa, pero hay un montón de ejemplos al llegar a cero, mientras que hay curvas. Esto ocurre en superficies algebraicas. Usted puede tomar un mínimo de superficie de tipo general y considerar la posibilidad de una curva C de cero espera dimensión, es decir,$C^2-KC=0$, donde K es el divisor canónico. A continuación, el GW invariantes de esta curva no va a ser cero si C es un divisor canónico. Este es un corrolary de Seiberg Witten teoría. Pero hay ejemplos cuando se tienen las curvas de C que satisfacen $C^2-CK-0$ $C$ es diferente de $K$ estas curvas contribuir 0 a GW invariante.
Así que, ¿cuál es el significado negativo de la GW invariante? Si usted está haciendo la geometría simpléctica, todo puede ser perturbado por lo que el número final de las curvas que se obtiene es finito. Es exactamente lo mismo que decir que si usted tiene un mapa de dos colectores $M^n\to N^n$, para un punto genérico el número de perimages es finito. Algunos de ellos cuentan con + y algunos con -, sumar y obtener el grado. Negativo GW= negativo grado.
Pero si usted está haciendo la geometría Algebraica negativo GW invariante tiene una consecuencia adicional, es decir que el espacio de moduli de curvas (esta vez algebraicas y casi no complejo) que usted considere que ha exessive tamao. Al igual que en el ejemplo con CY quintic que es desribed arriba. En efecto, si todas las curvas fueron aislados que contribuiría positivamente y GW sería positivo.
Gromov--Witten invariantes están diseñados para contar el número de curvas en un espacio en la deformación de una invariante. Dado que el número de curvas puede cambiar bajo deformaciones, la Gromov--Witten invariantes no tienen una interpretación directa en términos de los números reales de las curvas, incluso teniendo automorfismos en cuenta.
Aquí es un ejemplo de cómo un número negativo podría llegar, aunque estrictamente hablando no es un Gromov--Witten invariante. Sea M el espacio de moduli de mapas de P^1 el total de espacio de O(-4) en la P^1. Llamar a este espacio X. Nota que me dijo mapas de P^1, no un género cero de la curva, por lo que el origen de la curva es rígido. Es por eso que este no es Gromov--Witten teoría. Cualquier mapa de factores a través de la sección cero (ya que O(-4) no tiene un valor distinto de cero secciones), así que este espacio es el mismo que el espacio de los mapas de P^1 para sí mismo. Sólo quiero ver en el título de uno de los mapas, por lo que el espacio de moduli es de 3 dimensiones.
También podríamos calcular la dimensión de uso de la deformación de la teoría: las deformaciones de un mapa f son clasificados por $H^0(f^\ast T)$ donde T es la tangente del paquete de la diana. El objetivo en este caso es O(-4), no sólo P^1, y la recta tangente paquete restringe a O(2) + O(-4) en la sección cero. Por lo tanto $H^0(f^\ast T)$ es de hecho en 3 dimensiones, tal y como esperábamos. Sin embargo, la característica de Euler de $f^\ast T$ no es 3 y el 0, lo que significa que la "espera de la dimensión cero.
El significado de espera dimensión es bastante vago. A grandes rasgos, es la dimensión del espacio de moduli de un "genérico" elección de la deformación. El problema es que una deformación de la realidad no podría existir. Sin embargo, todavía podemos pretender que un genérico de deformación no existe y, si la dimensión es cero, calcular el número de curvas que "debe" tener.
Lo que hace esto posible es la obstrucción de paquete E en M. Cualquier deformación de X da lugar a una sección de la E y la desaparición de locus de esta sección es la colección de curvas que puede ser deformada de primer orden, junto con la X. a pesar de que un genérico de deformación podría no existir, la obstrucción paquete todavía existen, y podemos dar sentido a la fuga, el locus de un genérico sección tomando la parte superior de Chern de la clase.
En nuestra situación, el (la fibra de la) obstrucción paquete es $H^1(f^\ast T)$. Desde O(2) no contribuye a H^1, la obstrucción paquete es $R^1 p_\ast f^\ast O_{P^1}(-4) = R^1 p_\ast O_{P^3 \times P^1}(-4, -4)$ donde $p : P^3 \times P^1 \rightarrow P^3$ es la proyección. Por la proyección de la fórmula, esto es $O(-4)^{\oplus 3}$ y la parte superior de Chern de clase es -64. Este es el "Gromov--Witten invariantes" de los mapas de P^1 a $O_{P^1}(-4)$.
Por desgracia, yo no tengo nada que decir acerca de lo que este -64 significa...
Permítanme utilizar un ejemplo. Si recuerdo correctamente (yo soy demasiado perezoso para buscar), el GW invariante para "local P^2" (es decir, la canónica paquete O(-3) sobre P^2) en el género de cero y el grado 1 es 3, y en el grado 2 es -45/8. Ahora -45/8 descompone, después tratando de dar cuenta de múltiples cubre, a 3/2^3 - 6, lo que da una número efectivo de grados 2 curvas de -6. ¿Qué? Este número es cuántos grado 2 curvas de la P^2 debe de la cuenta"," cuando aparece a la existencia dentro de una familia de Calabi-Yau. (Aquí, por supuesto, nos tiene una familia de mapas en el P^2.) Entonces usted debe preguntar, "¿significa esto que para un pacto CY tener rígidos de género cero curvas y un incrustados P^2 (y ninguna otra superficie) y se encuentran en una familia que incluye una CY con sólo rígidos de género cero curvas y no en otra superficie, que debe tener en menos de 6 grado 2 racional curvas en otro lugar?" Presumiblemente.
El ejemplo más sencillo que he podido encontrar es: blow-up $P^3$ en un momento y considere los siguientes correlacionador $\langle pt, E^2, E^2\rangle_l=-1$ donde $l$ es el pull-back de una línea de $P^3$.
Prueba: el uso de la división axioma para las siguientes 4 clases de $(pt, E^2|E,E)_l$. Para desentrañar esta notación echar un vistazo a la página 5 http://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/pub/voladura-9804043.pdf
La división axioma da:
$\langle pt, E^2, E^2\rangle_l=\langle pt, E, E\rangle_{l-E'}\cdot\langle E^2, E^2, E\rangle_{E'}=1\cdot(-1)=-1$
Espero que esta sea correcta.
¿Alguien sabe un ejemplo claro en la dimensión 2?
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