Secuencia determinista de medidas de probabilidad

Question

Supongamos que $\mu_0$ es una medida de probabilidad sobre los reales con primer momento finito $\int_{-\infty}^\infty |x| \, \mu_0(dx) < \infty$ para que $m:= \int_{-\infty}^\infty x \, \mu_0(dx) \in \mathbb R$ está bien definido: Si $X_0\sim\mu_0$ es una variable aleatoria con ley $\mu_0$ tiene expectativas $\mathbb E[X_0]=m$ . Ahora, dado $\mu_n$ para $n\in\mathbb N_0$ construimos la medida de probabilidad $\mu_{n+1}$ de la siguiente manera. Tomando $(U_n, V_n, W_n)$ i.i.d. cada uno distribuido según $\mu_n$ , dejemos que $\mu_{n+1}$ la ley de $$ U_n + V_n-\ln(1+e^{V_n})+\ln(1+e^{W_n}). $$ En otras palabras, $$ \mu_{n+1} := \mu_n \ast \mu_n \circ(x\mapsto x-\ln(1+e^x))^{-1} \ast\mu_n\circ (x\mapsto \ln(1+e^x))^{-1} ,\quad n\in\mathbb N $$ où $\ast$ denota convolución de medidas.

Si $X_n\sim \mu_n$ sostiene $\mathbb E[X_n]=2^n\, m$ Así que me pregunto: Si $m>0$ ¿es (generalmente) cierto que $F(t):=\mu_n((-\infty,t])\to 0$ como $n\to\infty$ para cualquier $t\in\mathbb R$ ? Además, en el caso $m=0$ ¿se puede decir algo sobre el comportamiento asintótico de $\mu_n$ como $n\to\infty$ ? Evidentemente, si $\mu_0 =\delta_a$ es la medida puntual en $a\in\mathbb R$ sostiene $\mu_n=\delta_{2^n a}$ . En caso contrario, la varianza $\text{Var}(X_{n+1})>\text{Var}(X_n)$ de $X_{n+1}\sim\mu_{n+1}$ es estrictamente mayor que la varianza de $X_n\sim\mu_n$ .

Answer 1

Sea $A_n := \frac{1}{2^n}U_n$
Aunque el siguiente resultado se puede generalizar, me quedaré con la condición de que $\mu_0 \in L^2$ por la sencillez
Teorema 1
Si $\mu_0 \in L^2$ tenemos $$ \mathcal{L}( 2^{cn}( A_n-m ) ) \longrightarrow \delta_{0}$$ para todos $0<c<\frac{1}{2} $ donde $\mathcal{L}(X)$ se define como la ley de la variable aleatoria $X \square $ .
Demostración
Tenemos: $$\begin{array}{lcl}\text{Var}(A_{n+1})&\underbrace{=}_{\text{def of } \mu_{n+1}}& \dfrac{1}{4^{n+1}} \left[ \text{Var}(U_n)+\text{Var}\left\{ \ln( e^{W_n}+1 )-\ln( e^{-V_n}+1 ) \right\} \right]\\ &\le&\dfrac{1}{4^{n+1}} \left[ \text{Var}(U_n)+ \text{Var}\left\{ \ln( e^{W_n}+1 )-\ln( e^{-W_n}+1 ) \right\} \right]\\ &=& \dfrac{1}{4^{n+1}} \left[ \text{Var}(U_n)+\text{Var}(W_n) \right]= \frac{1}{2}\text{Var}(A_n) \end{array} $$ Donde en la segunda línea, he utilizado una variación de la desigualdad de Chebyshev, que es: $$ \text{Var}( f(X)-g(Y)) \le \text{Var}( f(X)-g(X)) $$ para dos variables aleatorias cualesquiera $X, Y$ tal que $X \sim Y$ y $f$ aumenta mientras que $g$ disminuye.

Así $$\text{Var}(A_n) \le \dfrac{1}{2^n}\text{Var}(A_0)$$ De ahí la conclusión $\square$ .

Corolario 2
Si $m>0$ y $\mu_0 \in L^2$ tenemos: $$F_{\mu_n}(t) \xrightarrow{ n \rightarrow +\infty} 0 $$ para todos $t$ . $\square$

Corolario 3
Si $m=0$ , $\mu_0 \in L^2$ entonces: $$\mu_{n}( 2^{cn}a, 2^{cn}b ) \rightarrow 1 $$ para $a<0<b$ y $c>1/2$ $\square$

Comentario :

• Si la condición $L^2$ se relaja, se puede encontrar el mismo resultado pero se necesita un tratamiento más sutil, y algunas desigualdades óptimas de transporte podrían estar implicadas.

• Estaría bien que OP me ayudara a saber de dónde ha sacado esta pregunta.