Es el conjunto de funciones $\{t\mapsto tx(t)\mid x\colon [0,1]\to\mathbb{R}\text{ and }(\forall t\in [0,1])\,\lvert x(t)\rvert \leq 1\}$ ¿equicontinuo?

Question

Es el siguiente conjunto de funciones continuas de valor real sobre $[0,1]$ ¿equicontinuo? $$ A = \{t\mapsto tx(t)\mid x\colon [0,1]\to\mathbb{R}\text{ and }(\forall t\in [0,1])\,\lvert x(t)\rvert \leq 1\} $$

Mi intento:

Sea $t_0\in [0,1],\varepsilon>0$ .

Entonces $\lvert tx(t)-t_0x(t_0)\rvert=\lvert tx(t)-t_0x(t)+t_0x(t)-t_0x(t_0)\rvert \leq\lvert t-t_0\rvert+\lvert x(t)-x(t_0)\rvert$

Pero $\lvert t-t_0\rvert+\lvert x(t)-x(t_0)\rvert$ no es equicontinua, sin embargo no encuentro un contraejemplo de funciones no equicontinuas en $A$ u otro límite para $\lvert tx(t)-t_0x(t_0)\rvert$ .

Gracias.

Answer 1

No creo que sean equicontinuos. Cerca de $1$ la influencia de $t$ es insignificante.

Por ejemplo, si dejamos que $x_n(t)=t^n$ entonces esta familia no será equicontinua en $t=1$ . Porque para cualquier $t<1$ puedes conseguir $n$ lo suficientemente grande para que $t^n$ es arbitrariamente cercano a cero.