Grupos cuyo número mínimo de generadores es $\log_2(|G|)$

Question

Es un ejercicio clásico demostrar que un grupo finito $G$ tiene un número mínimo de generadores $\leq \log_2(|G|)$ .

Es evidente que este límite se alcanza para $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^k$ ( $k\geq 0$ ).

Además, utilizando el teorema de estructura para grupos abelianos, se puede demostrar que éstos son los únicos grupos abelianos para los que este número mínimo es exactamente $\log_2(|G|)$ .

De ahí que surjan dos preguntas naturales:

¿Qué ocurre con los grupos no abelianos?

¿Y qué pasa si aflojamos la restricción a $\lfloor \log_2(|G|)\rfloor$ en los entornos abeliano y no abeliano ?

Si nos ceñimos a $\log_2(|G|)$ está claro que sólo estamos tratando con $2$ -grupos. No sé qué más se puede decir...

Tengo aún menos ideas para la segunda pregunta, porque incluso para grupos abelianos parece complicado, por no hablar de los no abelianos (Por ejemplo siempre que $G$ es un $2$ -solución grupal a la primera pregunta, creo $G\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ es una solución a la segunda - EDIT : no esto no es cierto, como Derek Holt señaló)

¿Ideas?

Answer 1

El número mínimo de generadores de una entidad finita $p$ -grupo $G$ es $k$ donde $p^k$ es el orden del $G/\Phi(G)$ y $\Phi(G)$ es el subgrupo Frattini de $G$ . Desde $\Phi(G)=1 \Leftrightarrow G \cong C_p^k$ para algunos $k$ se deduce que el número mínimo es exactamente $\log_2 |G|$ sólo si $G \cong C_2^k$ . Eso responde a su primera pregunta.

No he pensado en tu segunda pregunta, pero supongo que $C_2^k$ sigue siendo la única posibilidad con $\lfloor \log_2|G|\rfloor$ generadores. Su otro ejemplo no funciona porque $C_2^k \times C_3 \cong C_2^{k-1} \times C_6$ es $k$ -generado.

Hay una excepción a mi conjetura: el grupo no abeliano $D_6 \cong S_3$ de orden $6$ necesita $2$ generadores. Pero estoy conjeturando que cualquier otro grupo de orden $2^k\times 3$ es $k$ -generado.