Descomposición general de Bruhat (con parabólicas no necesariamente de Borel)

Question

Aquí está la descomposición general de Bruhat (que he visto en varios artículos, pero nunca con una prueba o una referencia completa).

Sea $G$ sea un grupo reductor partido, $T$ un toroide maximal dividido y $B$ un subgrupo de Borel de $G$ .

Sea $R^+ \subset R$ sean las raíces positivas correspondientes a $B$ y $S \subset R^+$ las raíces simples de $R^+$ . Sea $I \subset S$ y $P_I$ el subgrupo parabólico estándar de $G$ correspondiente a $I$ .

Por último $W$ sea el grupo de Weyl de $(G,T)$ y $W_I$ el subgrupo de $W$ generada por las reflexiones $(s_\alpha)_{\alpha \in I}$ .

Entonces la descomposición general de Bruhat es $$G = \coprod_{W_I \backslash W / W_I} P_I w P_I$$ y $P_I \backslash P_I w P_I$ es una variedad afín de dimensión $\ell(w)$ donde $w$ es de longitud mínima en el doble coset $P_I w P_I$ .

Mi pregunta es : ¿existe una buena elección de representantes para $P_I \backslash P_I w P_I$ ? Más concretamente, busco un análogo de la siguiente biyección (en el caso $P=B$ Borel) : $$B \times \lbrace w \rbrace \times U_{w^{-1}} \overset{\sim}{\longrightarrow} BwB$$ donde $U$ es el radical unipotente de $B$ , $U^-$ su opuesto y $U_{w^{-1}}$ es el subgrupo $(w^{-1}U^-w) \cap U$ . ¿Qué subgrupo de $P_I$ sustituiría a $U_{w^{-1}}$ ?

¿Qué referencia existe para todo esto?

Gracias de antemano.

Editar : en este curso de Casselman encontré el siguiente isomorfismo de variedad (ver en la parte superior de la página 12)

$$P_I \times \lbrace w \rbrace \times \prod_{\alpha \in R^+ \backslash R_I^+ ~|~ w^{-1} \alpha \notin R^+ \backslash R_I^+} N_\alpha \overset{\sim}{\longrightarrow} P_IwP_I$$

con $w \in W$ de longitud mínima en $W_I \backslash W / W_I$ . Sin embargo, esto no parece funcionar con $\mathrm{GL_3}$ Observamos $S = \lbrace \alpha, \beta \rbrace$ ; si $I= \lbrace \alpha \rbrace$ , $P_I = \left( \begin{smallmatrix} * & * & * \newline * & * & * \newline & & * \end{smallmatrix} \right)$ ; con $w = s_\beta$ el producto anterior está en el conjunto $\lbrace \beta, \alpha + \beta \rbrace$ por lo que el isomorfismo debería ser $P_I s_\beta P_I \cong P_I \times \lbrace s_\beta \rbrace \times \left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 & * \newline 0 & 1 & * \newline 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$ que es falso (el elemento $s_\beta \left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 & 0 \newline 1 & 1 & 0 \newline 0 & 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$ está en el lado izquierdo, no en el derecho)...

Answer 1

EDIT: Mis comentarios fueron demasiado precipitados y se van a borrar. Mirando a las fuentes originales se vuelve un poco confuso debido a la generalidad, por lo que todavía estoy buscando una exposición posterior más directa sólo en el caso dividido. (Sin embargo, la mayoría de las aplicaciones tienden a implicar campos de definición relativos a los que $G$ no se divide).

La descomposición básica de Bruhat (en forma refinada) expresa la variedad bandera $G/B$ como una unión disjunta sobre $W$ de células Bruhat: la célula indexada por $w$ tiene dimensión $\ell(w)$ y se expresa en términos de un producto sobre este número de grupos de raíces. En el sistema de Tits correspondiente hay subgrupos parabólicos estándar que contienen $B$ por lo que es natural investigar la variedad de bandera "parcial $G/P$ proyectando sobre ella la variedad de bandera y viendo dónde van las células Bruhat. Esto es esencialmente a lo que llegan los cálculos de las fuentes mencionadas. En la situación de división, $C(w)$ significa $BwB$ y la imagen de la célula Bruhat en $G/P$ tiene entonces el formato indicado por Borel al final de su sección 21. Aquí se utiliza un representante de menor longitud de un elemento del grupo de Weyl relativo en el cociente $W/W_J$ si $J$ define la parabólica. Por ejemplo, cuando $G= \mathrm{SL}_3$ y $J$ contiene una simple reflexión, se obtiene una descomposición celular de $G/P$ en tres celdas de dimensión $0,1,2$ .

En cuanto a las referencias, kreck señala el tratamiento en la segunda edición de Borel, que está en parte extraído del trabajo conjunto anterior con Tits sobre grupos reductores sobre campos arbitrarios: véase especialmente la sección 3 de su artículo "complements" en Publ. Math. IHES (1972) aquí .

Al consultar estas fuentes, hay que tener en cuenta que estaban motivadas especialmente por el comportamiento de los grupos reductores no escindibles sobre campos no algebraicamente cerrados, por lo que sus afirmaciones se vuelven técnicas. En cualquier caso, la estructura de cada celda en $G/P$ se expone explícitamente a la manera de su tratamiento de los cosets dobles relativos a $B$ . Naturalmente, hay que elegir los representantes del grupo de Weyl, pero por lo demás es muy parecido a la descomposición de celdas de Bruhat habitual.

Answer 2

Como @JimHumphreys ha señaló , [BT2] Borel y Tits - Adiciones al artículo: "Grupos reductores en concreto la proposición 3.16(i, iv), da la descomposición $G/P_I = \bigsqcup_{w \in [W_I\backslash W/W_I]} P_I w P_I/P_I$ donde $[\cdot]$ denota los representantes del doble cóset de longitud mínima. Sin embargo, es falso que $P_I w P_I/P_I$ es un espacio afín.

Le pregunté a Josh Lansky y me remitió al teorema 5.2 de su artículo [La]. Descomposición de cosets dobles en $\mathfrak p$ -grupos radicales que (aunque considera una situación más general en la que intervienen parahorias en lugar de parabólicas) sugiere que, en lugar de intentar describir directamente $P_I w P_I/P_I$ en su lugar deberíamos considerar $$ P_I w P_I/P_I = \bigsqcup_{w' \in [W_I/W_I \cap w W_I w^{-1}]} P_\emptyset w'w P_I/P_I. $$ Entonces, como era de esperar, cada $P_\emptyset w' w P_I/P_I$ es un espacio afín; aquí se puede utilizar [La, Teorema 4.6] y [BT2, Proposición 3.16(ii)], que muestran que $P_\emptyset w'w P_\emptyset/P_\emptyset \to P_\emptyset w'w P_I/P_I$ es un isomorfismo de variedades (de un espacio afín).

Así, el problemático caso de $\operatorname{GL}_3$ que usted menciona ahora se convierte en $$ P_\alpha s_\beta P_\alpha/P_\alpha = P_\emptyset s_\beta P_\alpha/P_\alpha \sqcup P_\emptyset s_\alpha s_\beta P_\alpha/P_\alpha, $$ donde $P_\emptyset s_\beta P_\alpha/P_\alpha$ y $P_\emptyset s_\alpha s_\beta P_\alpha/P_\alpha$ son $1$ - y $2$ -respectivamente; y, por supuesto, el elemento $s_\beta\begin{pmatrix} 1 \\ 1 & 1 \\ && 1 \end{pmatrix}$ que menciona se encuentra en $P_\emptyset s_\beta P_\alpha$ .