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$S^2$ no cubre $T$, el toro

Estoy tratando de demostrar que si $N$ es un compacto de colector que cubre el torus $T$, $N$ debe ser homeomórficos a $T$. Yo prácticamente tenemos la prueba de (utilizados característica de euler de la propiedad y la clasificación de las 2-variedades). Sin embargo, me he quedado con una dificultad. Necesito mostrar que $S^2$ no cubre $T$. Hay una manera fácil de mostrar esto? Gracias de antemano.

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clintp Puntos 5127

Observar que la cobertura universal de $T$$\mathbb R^2$, a través del mapa de $\mathbb R^2\to \mathbb R^2/\mathbb Z^2\cong T$. Si $S^2$ también cubiertos $T$, ya que simplemente se conecta también sería una cobertura universal de $T$. Desde universal cubre son únicos, esto implicaría $S^2\cong \mathbb R^2$, lo cual es claramente falso, como $S^2$ es compacto y $\mathbb R^2$ no lo es.

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Bryan Roth Puntos 3592

Primero observar que si $\pi: Y \rightarrow X$ es una cubierta mapa y $Y$ es compacto y conectado, a continuación, el grado debe ser finito.

Segundo: sí, uso de Euler características! Recuerda que si $\pi: Y \rightarrow X$ es de un número finito de grados que cubre el mapa, a continuación,$\chi(Y) = (\operatorname{\deg} \pi) \chi(X)$. Creo que usted encontrará que usted está.

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Dan Rust Puntos 18227

Las otras respuestas son grandes y por lo que pensé en añadir una "alta potencia" * el método para obtener el mismo resultado. Como dijo Alex en su respuesta, si $S^2$ cubierto $T$ $S^2$ sería la universalización de la cobertura de $T$. Tenga en cuenta que si $p\colon X\rightarrow Y$ es una cubierta mapa, a continuación, la inducida por el mapa de $p_*\colon\pi_n(X)\rightarrow\pi_n(Y)$ en homotopy grupos es un isomorfismo para $n\geq 2$.

La segunda homotopy grupo de $S^2$ es cíclico abelian en un generador, pero el segundo homotopy grupo de $T$ es trivial como $T$ es cubierto por el avión $\mathbb{R}^2$ que ha trivial homotopy grupos en todos los niveles. Es decir,$\pi_2(T)\cong\pi_2(\mathbb{R}^2)=0$$\pi_2(S^2)\cong\mathbb{Z}$, por lo que no existe isomorfismo entre homotopy grupos. De ello se sigue que no hay tal cubrimiento mapa puede existir.

*alta potencia sólo en el sentido de que se utiliza el de mayor homotopy grupos de un espacio y de resultados sobre inducida por los mapas de cubrir el espacio de la teoría.

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cara Puntos 1

Ok! Creo que hay una primaria de la prueba de la original hecho de que están demostrando. Primero de todo, tenga en cuenta que, si $ p: E\to T $ es una cubierta, con $E$ compacto, entonces el índice de $ \pi _1(E,e) $ $ \pi _1 (T,t) $ es finito.

Como usted sabe,$\pi _1 (T,t) $, usted sabe todos los subgrupos de índice finito... Entonces, para demostrar lo que usted desea, usted sólo tiene que darse cuenta de todas las cubiertas de la inducción de dichos subgrupos (todos estos revestimientos serán diferentes mapas con el mismo dominio : torus).

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Simon Rose Puntos 4203

Otra prueba:

Dotar tanto $T, S^{2}$ compatible con estructuras complejas. Entonces a partir de la $S^{2}$ es simplemente conectado, el mapa de los ascensores a la universalización de la cobertura de $T$,$\mathbb{C}$. Por otra parte, el ascensor es holomorphic, y así obtenemos un holomorphic mapa de $S^2 \cong \mathbb{P}^1 \to \mathbb{C}$. Sin embargo, la máxima módulo principio, el único de estos mapas son constantes. QED.

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