Un subconjunto $A$ de un espacio topológico $(X,T)$ se dice que es semiabierto si existe un conjunto abierto $B \in ( X,T)$ tal que $B \subseteq A \subseteq \overline B$ .
Ahora mi pregunta es que
Pon un ejemplo de conjunto cerrado que no sea necesariamente un conjunto semiabierto.
Mi intento : Pienso en el intervalo cerrado $A=[0,1]$ y $A= \mathbb{R}$ se satisfacen todas las propiedades semiabiertas.
Creo que un ejemplo así no existe.
Como dijo quangtu123, todo subconjunto cerrado con interior vacío sirve. Si quieres algo en $\Bbb{R}$ que no sea simplemente un singleton o algo similar, sugeriría mirar en el conjunto Canot .
Sea $A$ sea un conjunto cerrado que no sea un conjunto semiabierto. Entonces $\overline{A^\circ}\neq A$ (ya que de lo contrario bastaría con elegir $B=A^\circ$ ). A la inversa, si $\overline{A^\circ}\neq A$ entonces para cualquier subconjunto abierto $B\subset A$ tenemos $B\subset A^\circ$ (ya que $A^\circ$ es el subconjunto abierto máximo de $A$ ), y por lo tanto $\overline{B}\subset\overline{A^\circ}\subsetneq A$ . Por lo tanto tenemos:
Propuesta - Deja $A$ sea un conjunto cerrado. Entonces $A$ es un subconjunto semiabierto si y sólo si $\overline{A^\circ}=A$ .
Tu pregunta puede reformularse como: encontrar subconjuntos cerrados $A$ tal que $\overline{A^\circ}\neq A$ lo que significa $\exists p\in A:p\notin\overline{A^\circ}$ lo que significa $\exists p\in A$ tal que $p$ y $A^\circ$ están separadas (por subconjuntos abiertos). Sugerido por la terminología ningún subconjunto denso dicho conjunto podría denominarse no denso en alguna parte . Obviamente, todos los subconjuntos densos no vacíos en ninguna parte no son densos en alguna parte (es decir, el caso de interior vacío).
En el caso de $\mathbb{R}$ bastaría con un punto aislado del conjunto.
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