Inducción magnética en el centro de un toroide

Question

Este problema se refiere a Q3.239 en Problemas de Física General de I.E. Irodov.

Pregunta: N = $2.5*10^3 $ Las vueltas de alambre se enrollan uniformemente en un núcleo toroidal de madera de sección transversal muy pequeña. Por el hilo circula una corriente I. Hallar la relación 1 entre la inducción magnética en el interior del núcleo y en el centro del toroide.

Suponiendo una espira Amperiana en el espacio central del toroide nos da directamente B = 0 en .el centro, análogamente dentro del toroide nos da $$ B = \mu NI / (2 \pi r) $$ y esto es también lo que he encontrado en muchos libros de referencia también. Pero la respuesta dada es $$ \eta = N / \pi$$

¿Dónde me he perdido? Gracias.

Answer 1

Tienes razón en tu cálculo del campo magnético dentro del toroide, es efectivamente $$ B_\text{inside} = \mu NI / (2 \pi r).$$

Sin embargo, en el centro el campo magnético es distinto de cero. De hecho, cada bucle no es un círculo cerrado, sino una vuelta de hélice. Cada una de estas vueltas contiene un desplazamiento de $2\pi r /N$ en dirección toroidal. Así, mientras que los componentes poloidales de la corriente no contribuyen al campo magnético en el centro, los componentes toroidales sí lo hacen. Y sus contribuciones (para un toroide delgado) son equivalentes a las de una bobina circular simple en la dirección toroidal. (Para definir las direcciones en el toroide mira aquí ).

Así, por la ley de Biot-Savart, en el centro el campo magnético sería $$ \mathbf{B}_\text{center} = \frac{\mu}{4 \pi} \int_C \frac{I d{\boldsymbol\ell} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}=\hat{\mathbf{n}}\, \frac{\mu}{4\pi} \,\frac{ 2\pi r\, I }{r^2}=\hat{ \mathbf{n}}\,\frac{\mu I}{2 r}, $$ donde hemos tenido en cuenta que la dirección del producto vectorial es la misma en cada punto del círculo.

Y así la proporción es $$ \eta =\frac{B_\text{inside}}{B_\text{center}}=\frac N \pi.$$

Answer 2

En la Figura-01 tenemos un círculo de radio $\:R\:$ en el $\:xy-$ plano con centro en el origen $\:\rm O$ . Un bucle circular de radio $\:r<R\:$ se encuentra en un plano normal a la $\:xy-$ plano con centro en la circunferencia del primer círculo. Una corriente constante $\:I\:$ fluye alrededor de la espira circular produciendo en el centro un campo magnético $\:\mathbf{B}\:$ enteramente en el $\:xy-$ plano. El bucle circular representa uno de los $\:N\:$ vueltas de un toroide ideal (un alambre enrollado alrededor de un toroide).

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Ahora bien, si se colocan varias espiras circulares idénticas en una disposición poligonal regular, el campo magnético en el centro se anula. La figura-02 es un ejemplo de disposición en pentágono regular.

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Cuanto mayor sea el número de vueltas $\:N\:$ más se acerca el toroide ideal al real. La figura-03 muestra un toroide ideal con $\:N=72\:$ giros. El campo magnético en el centro es cero.

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Ahora, en la Figura-04 inclinamos el bucle circular de la Figura-01 un ángulo $\:\theta\:$ alrededor del $\:y-$ debido a que las espiras de un toroide real están inclinadas con respecto al eje $\:xy-$ avión. En este caso el campo magnético en el centro tiene una componente $\:\mathbf{B}_{\boldsymbol{\perp}}$ normal al $\:xy-$ avión.

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En la Figura-05 vemos una disposición de polígonos regulares con $\:N=72\:$ vueltas. El campo magnético resultante $\:\sum\mathbf{B}_{\boldsymbol{\perp}}$ en el centro es normal a la $\:xy-$ avión.