Sea H = $\mathbb{Z}/p^3\mathbb{Z}$ . Determinar el número de elementos en H que tiene orden $p^i$ para $0\leq i \leq3$
No se como proceder, gracias a quien tenga una idea
Respuesta
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En primer lugar, cualquier subgrupo de un grupo cíclico es cíclico, y para cualquier divisor $d$ de $p^{3}$ existe un único subgrupo de orden $d$ . Ahora bien, si $d=p$ existe un único subgrupo de orden $p$ sur $H$ Esto significa que hay $p-1$ elementos de orden $p$ . Consideremos ahora el subgrupo cíclico $K$ de orden $p^{2}$ . Debe contener el subgrupo cíclico de orden $p$ . En $K$ , $p-1$ los elementos tienen orden $p$ , $1$ tiene orden $1$ y, por tanto $p^{2}-p$ tener orden $p^{2}$ . En total, 1 elemento de orden $1$ , $p-1$ elementos de orden $p$ y $p^{2}-p$ tener orden $p^{2}$ . Entonces, ¿cuántos elementos son de orden $p^{3}$ ?
