¿Por qué la amplitud de tunelización WKB es un resultado no-perturbativo?

Question

La amplitud de tunelización obtenida a partir de la aproximación WKB viene dada por $$|T(E)|=\exp\Big\{-\frac{1}{\hbar}\int\limits_{x_1}^{x_2}dx[2(V(x)-E)]^{1/2}\Big\}[1+O(\hbar)]$$ donde $x_1$ y $x_2$ son los puntos de inflexión clásicos a la energía $E$ .

¿Por qué se habla de un resultado no-perturbativo? ¿Por qué este fenómeno no puede revelarse, como se suele decir, en cualquier orden de la teoría de perturbaciones?

Adenda: Dado un potencial no resoluble, puedo resolver las funciones propias de energía aproximadas y calcular la amplitud de tunelización como se hace para un potencial escalonado. ¿No revelará el fenómeno de tunelización?

Answer 1

Considere la función $\exp\Big(-\frac{1}{\hbar}f(x)\Big)$ . Cada derivada de ella se puede escribir de la forma, \begin{equation} \frac{d^n}{d\hbar^n}\exp\Big(-\frac{1}{\hbar}f(x)\Big)=\frac{p_{2n}\Big[\hbar,f(x)\Big]}{\hbar^{2n}}\exp\Big(-\frac{1}{\hbar}f(x)\Big) \end{equation} donde $p_{2n}$ es un polinomio en $\hbar$ . En el límite $\hbar\rightarrow 0$ el exponente va a cero más rápido de lo que aumenta cualquier potencia inversa. Por lo tanto, para cualquier $n$ , \begin{equation} \frac{d^n}{d\hbar^n}\exp\Big(-\frac{1}{\hbar}f(x)\Big)\Bigg|_{\hbar=0}=0 \end{equation} Por lo tanto, las series de Taylor en $\hbar$ es cero en todos los órdenes y dicha contribución no se verá en ningún orden de la teoría de perturbación en $\hbar$ es decir, es no-perturbativa para dicha expansión.

Ahora consideramos la expansión en $\hbar$ . Sin embargo, tenga en cuenta que $\hbar$ es alguna cantidad dimensional o se establece en $1$ . En realidad, lo que hay que tener en cuenta es una combinación adimensional de los parámetros del modelo que suele incluir lo que llamamos una constante de acoplamiento.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta OON. Por supuesto, para una barrera de potencial, podemos hacer el cálculo perturbativo de las funciones de onda dentro y fuera, luego tomar la relación de corriente de las partículas obtenemos la amplitud de tunelización al orden perturbativo. Pero este resultado es obviamente diferente del obtenido por el túnel semiclásico de WKB. Como dijo OON, el de WKB contiene contribuciones que no aparecen en el perturbativo. En realidad la solución semiclásica satisface la ecuación de movimiento sin importar lo fuerte que sea el acoplamiento. Este es el fundamento de las soluciones instantónicas.