Integración de cocientes trigonométricos

Question

Esta es mi última pregunta:

8. Considere la función $g(x) = \frac{\sin^3 x}{ 1 + \cos x}$ . Escriba a $g(x) = f(u, v)$ donde $u = \sin x$ y $v = \cos x$ . Consultando el apartado 18.16 de la p.299 del libro de Ostaszewski si es necesario, evalúe $\int_0^{/2}\frac{\sin^3 x}{ 1 + \cos x}dx$

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Obtuve la respuesta utilizando este método: $\sin^3x=\sin^2x\times \sin x=(1-\cos^2x)\times\sin x=(1+\cos x)(1-\cos x)\times \sin x$

Y luego anulando el $1+\cos x$ plazo. ¿Es ésta la mejor manera de abordar esta cuestión o se espera que utilice algún otro método? No tengo el libro al que hace referencia la pregunta, así que no estaba seguro. Me parece que debía hacer algo con el hecho de que $g(x)=\frac{u^3}{1+v}$ .

Answer 1

$I=\int_0^{\pi/2}\dfrac{\sin^3(x)}{1+\cos(x)}dx=\int_0^{\pi/2}\dfrac{\sin(x)(1-\cos^2(x))}{1+\cos(x)}dx$

Sustituir $u=\cos(x)$

$I =-\int_1^0\dfrac{1-u^2}{1+u}du=\int_0^1(1-u)du=\dfrac{1}2$

Answer 2

Ok he comprado el libro ... £ 62 :'( lol

Básicamente el libro establece un conjunto de sustituciones a utilizar según la naturaleza de la función $f(\sin x, \cos x)$

En este caso afirma que si consideramos que $f(\sin x, \cos x) = \frac{\sin^3 x}{1+\cos x}$ es una función impar con respecto a $\sin$ es decir $f(\sin x, \cos x) = -f(-\sin x,\cos x)$ entonces $w=\ cos x$ es una sustitución adecuada.

$w = \cos x \rightarrow \frac{dw}{dx}=-\sin x \rightarrow dx = \frac{-dw}{\sin x}$

$\int_{x=0}^{\pi / 2} \frac{\sin^3x}{1+\cos x}dx$

$=\int_{w=1}^{0} \frac{\sin^3x}{1+ w}\times \frac{-1}{sin x}dw$

$=\int_1^0 \frac{-\sin^2x}{1+w}dw$

$=-\int_1^0 \frac{1-\cos^2x}{1+w}dw$

$=-\int_1^0 \frac{1 - w^2}{1+w}dw$

$=-\int_1^0 \frac{(1+w)(1-w)}{1+w}dw$

$=-\int_1^0 (1-w)dw$

$=-[w-\frac{w^2}{2}]_1^0$

$=-[(0-\frac{0^2}{2})-(1-\frac{1^2}{2})]$

$=-[(0)-(1-\frac{1}{2})]$

$=-[(0)-(\frac{1}{2})]$

$=-[-\frac{1}{2}]$

$=\frac{1}{2}$