Orden de los elementos en $S_4$

Question

Sea $r(n) = \left| \left\{ \sigma \in S_4 : \mbox{ord} ( \sigma) = n \right\} \right|$ . ¿Es cierto que:

1. $r(2)>r(4)$
2. $r(4) > r(3)$
3. $r(1)+r(3) = r(2)$
4. $r(5) = r(6)$

Puedo escribir todos los elementos de $S_4$ pero supongo que es una forma mejor y más rápida de resolverlo.

Answer 1

Piense en los elementos de $S_4$ . Estos son: la identidad (orden 1), las transposiciones (orden 2), los 3 ciclos (orden 3), los 4 ciclos (orden 4) y los productos de dos transposiciones disjuntas (orden 2). Ahora contemos cuántas hay de cada tipo: 6 transposiciones, 8 triciclos, 6 cuatriciclos y 3 productos de dos transposiciones disjuntas.

Answer 2

Existe una fórmula que calcula el número de formas en que un número entero dado puede dividirse en partes, que puede encontrarse, por ejemplo, aquí: Grupos de apoyo: Fórmula del tamaño de la clase de conjugación en un grupo simétrico :

Supongamos que $n$ es un número natural y $\lambda$ es una partición entera desordenada de $n$ tal que $\lambda$ tiene $a_j$ partes de tamaño $j$ para cada $j$ . En otras palabras, hay $a_1$ $1$ s, $a_2$ $2$ s, $a_3$ $3$ s, etc. Sea $c$ sea la clase de conjugación en el grupo simétrico de grado $n$ que comprende los elementos cuyo tipo de ciclo es $\lambda$ es decir, aquellos elementos cuya descomposición cíclica tiene $a_j$ ciclos de longitud $j$ para cada $j$ . T $$ \! |c| = \frac{n!}{\prod_j (j)^{a_j}(a_j!)} $$

Las formas de dividir $4$ son $1+1+1+1=2+1+1=2+2=3+1=4$ donde cada una corresponde a una clase de conjugación de $S_4$ por ejemplo $2+1+1$ es un 2-ciclo y dos 1-ciclos, El orden de los elementos de una clase de conjugación puede calcularse por el mínimo común múltiplo de los sumandos, p. ej. $\operatorname{lcm}(2,1,1)=2$ .

Hagamos el primero de tus ejemplos: $r(2)>r(4)$

$2+1+1$ et $2+2$ tienen $\operatorname{lcm}(2,1,1)=\operatorname{lcm}(2,2)=2$ et $4$ tiene $\operatorname{lcm}(4)=4$ . Por lo tanto $$ \! \frac{4!}{[(2)^1(1!)][(1)^2(2!)]} + \! \frac{4!}{(2)^2(2!)} > \frac{4!}{(4)^1(1!)}\\ 6 + 3 > 6 $$