¿La inversión del rey en el problema clásico de ajedrez?

Question

Estaba hablando con mi profesor de matemáticas sobre el problema clásico en el que el rey pierde una partida de ajedrez contra un campesino y se le pide que le dé $2^n$ granos para la $n$ (donde las casillas están numeradas $1$ a través de $64$ Este parece ser un ejemplo clásico del poder de la exponenciación.

Sin embargo mi profesor me dice que hay una inversión de este problema en la que el rey le dice que va a ir más lejos y finge como si el tablero fuera infinito. El campesino está de acuerdo siendo muy codicioso, pero aparentemente esto es malo para el campesino? Estoy confundido aquí, ¿he entendido mal, por qué esto es bueno para el rey?

Answer 1

Si el factor de campo a campo es $x$ (en lugar de $2$ ), el número total de granos para $n$ campos es $\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ . Si $|x|<1$ y dejamos que $n$ crecen hasta el infinito, este valor se aproxima $\frac1{1-x}$ . Así que si abusamos(!) de este resultado límite y lo aplicamos también para el caso que nos ocupa, es decir, con $x=2$ entonces debería haber $\frac1{1-2}=-1$ granos en un tablero de ajedrez infinito: el campesino le debe un grano al rey.

Otra razón para justificar el resultado: Si suponemos que todos los granos colocados y luego doble el contenido de cada campo y, a continuación, añadimos al tablero infinito un único campo con un grano, obtenemos la situación original. Por lo tanto, el número de granos debe ser una solución de $2\cdot N+1=N$ . El único finito solución es, en efecto $N=-1$ .

Answer 2

Consideremos el Reino Binario, donde, por decreto real, los ordenadores binarios son la última fuente de verdad para las disputas matemáticas. Todos los cálculos deben realizarse utilizando $n$ -registros de bits para algunos $n$ . Si dos sujetos no están de acuerdo en un cálculo porque han utilizado un número diferente de bits, el sujeto que ha utilizado más bits gana el juicio.

En este reino, $1+2+4+\cdots+2^{63}=2^{64}-1$ es una gran cantidad de grano. Alguien que trabaja con menos de $64$ o menos bits no puede distinguir entre este número y $-1$ pero cualquiera que tenga al menos $65$ bits es consciente de su enormidad.

Por otra parte, la suma infinita $1+2+4+\cdots$ es igual a $-1$ utilizando tout número de bits. Así, el tesorero de la corte puede afirmar que el campesino debe un grano al rey, ¡y el campesino no puede demostrar lo contrario!

Este reino ha ordenado que $2$ -números radicales son la configuración por defecto para la aritmética. El tribunal, al declarar que el sujeto con más bits gana, está realizando una límite inverso sobre sus cálculos. En el $2$ -norma radical En efecto, tenemos $|2|_2=\frac12<1$ por lo que la serie geométrica converge. Desgraciadamente, no hay buen pedido de todo el conjunto de $2$ -números arcaicos, por lo que la jurisprudencia económica en este reino se va a volver bastante espinosa cuando se permitan las transacciones infinitas. ¿Quién puede ser considerado responsable de saldar una deuda si su importe no es ni positivo ni negativo?

En la sociedad civil moderna, preferimos sobre todo los números reales, que tienen un orden agradable. Por supuesto, en los números reales, la serie infinita $1+2+4+\cdots$ diverge. Un agresivo resumen para producir el valor $-1$ como continuación analítica de la función definida por la serie de potencias $1+2x+4x^2+\cdots$ a $x=1$ .