Encontrar un FCD dado un PDF

Question

El PDF para $Y$ es $$f_Y(y) = \begin{cases} 0 & |y|> 1 \\ 1-|y| & |y|\leq 1 \end{cases}$$

¿Cómo puedo encontrar el FCD correspondiente? $F_Y(y)$ ? He integrado la función a trozos anterior para obtener $$F_Y(y)=\begin{cases} 1/2 -y/2-y^2/2 & [-1,0] \\ 1/2-y/2+y^2/2 & [0,1] \end{cases} $$ utilizando el hecho de que $F_Y(y)=\int _{-\infty}^{y}{f_Y(y)}\,dy$ Sin embargo, mi texto afirma que la respuesta es $$F_Y(y)=\begin{cases} 1/2 +y+y^2/2 & [-1,0] \\ 1/2+y-y^2/2 & [0,1] \end{cases} $$ Estoy luchando con pdf y cdfs, así que asumo que hice algo mal aparte de la simple integración. ¿Quién tiene razón? ¿¡Yo o el Texto!? $:)$

Answer 1

Tenemos que $F(y) = \displaystyle \int_{-\infty}^y f(x) dx$ . En su caso, se nos da que $$f(x) = \begin{cases} 0 & x <-1\\ 1 + x & x \in[-1,0]\\ 1-x & x \in [0,1]\\ 0 & x > 1\end{cases}$$

• Si $y < -1$ entonces tenemos $F(y) = \displaystyle \int_{-\infty}^y f(x) dx = \displaystyle \int_{-\infty}^y 0 dx =0 $ . Tenemos el integrando $f(x) = 0$ desde $x \leq y < -1$ .
• Si $y \in [-1,0]$ entonces tenemos $F(y) = \displaystyle \int_{-\infty}^y f(x) dx = \displaystyle \int_{-\infty}^{-1} f(x) dx + \displaystyle \int_{-1}^{y} f(x) dx$ . Desde, $f(x) = 0$ para todos $x < -1$ obtenemos que $$F(y) = \displaystyle \int_{-\infty}^y f(x) dx = \displaystyle \int_{-1}^{y} f(x) dx = \displaystyle \int_{-1}^{y} \left( 1+x \right) dx = \left( x + \frac{x^2}{2} \right)_{-1}^{y} $$ $$F(y) = \left(y + \frac{y^2}{2} \right( - \left( -1 + \frac12 \right) = \frac12 + y + \frac{y^2}{2}.$$
• Si $y \in [0,1]$ entonces tenemos $F(y) = \displaystyle \int_{-\infty}^y f(x) dx = \displaystyle \int_{-\infty}^{-1} f(x) dx + \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x) dx + \displaystyle \int_{0}^{y} f(x) dx$ . Desde, $f(x) = 0$ para todos $x < -1$ obtenemos que $$F(y) = \displaystyle \int_{-1}^{0} f(x) dx + \displaystyle \int_{0}^{y} f(x) dx = \displaystyle \int_{-1}^{0} \left( 1+x \right) dx + \displaystyle \int_{0}^{y} (1-x) dx$$ Por lo tanto, $$F(y) = \frac12 + \left( x - \frac{x^2}{2}\right)_0^{y} = \frac12 + y - \frac{y^2}{2}$$
• Para $y > 1$ ya que $f(x) = 0$ para todos $x>1$ tenemos que $F(y) = F(1)$ para todos $y > 1$ . Por lo tanto, $F(y) = F(1) = 1$ .

Por lo tanto, $$F(y) = \begin{cases} 0 & y <-1\\ \frac12 + y + \frac{y^2}{2} & y \in[-1,0]\\ \frac12 + y - \frac{y^2}{2} & y \in[0,1]\\ 1 & y > 1\end{cases}$$

Answer 2

Este es el tipo de problema que da mala fama a la integración entre los estudiantes.

• Dibujar un gráfico de la función de densidad. Parece un triángulo triángulo rectángulo con hipotenusa $2$ y vértice en $(0,1)$ y muy obviamente tiene área $1$ (útil como control del propio trabajo).

• Para cualquier $x_0$ , $F(x_0)$ es el área bajo la función de densidad a la izquierda de $x_0$ . Debería ser obvio que $F(x_0) = 0$ si $x_0 \leq -1$ y $F(x_0) = 1$ si $x_0 > 1$ .

• Elige una $x_0$ en $[-1,0]$ . La zona a la izquierda de $x_0$ es un derecho triángulo con altitud $1+x_0$ y base $1+x_0$ (o $x_0 - (-1)$ si y así $F(x_0) = \frac{1}{2}(1+x_0)^2$ . Comprobación rápida: el valor es $\frac{1}{2}$ en $x_0 = 0$ et $0$ en $-1$ .

• Elige una $x_0$ en $[0,1]$ . Por simetría, el área a la derecha de $x_0$ es $\frac{1}{2}(1-x_0)^2$ . Comprobación rápida: el valor es $\frac{1}{2}$ en $x_0 = 0$ et $0$ en $1$ . Por lo tanto, $F(x_0) = 1 - \frac{1}{2}(1-x_0)^2$ .

Si lo juntamos todo, obtenemos la misma respuesta que Sivaram Ambikasaran. Se tarda más en escribir las instrucciones que en trabajar con el diagrama. diagrama.

Answer 3

Primer trabajo con $y\le 0$ para obtener

$$F_Y(y)=\int_{-1}^y 1-|u|du=\int_{-1}^y 1+u du=y-(-1)+\frac{y^2-(-1)^2}{2}=\frac{1}{2}+y+\frac{1}{2}y^2 $$

Ahora trabaja con $1\ge y\ge0$ por división (utilizando el teorema fundamental del cálculo)

$$F_Y(y)=\int_{-1}^y f_Y(u)du=F_Y(0)+\int_0^y 1-u du $$

Ahora averigua qué $F_Y$ debe ser para $y\le-1$ et $y\ge+1$ ...